円運動の速度・・・

質問

質問は、円運動の速度が何故
ｖ＝ｒωになるのか・・です。
教科書を読んでみてもよくわからないし、先生に聞いても授業でもうやったと一蹴されたので質問しました。あと、角速度ってなんなんでしょう。自分は授業中聞いてもわからなかったので・・・。

回答No.6

Masye · ベストアンサー

まず初めに、言葉の意味から
速さ：1秒間に何メートル進むか。
角速度：1秒間に何度（ほんとは何ラジアン）進むか。

次に角速度について考えましょう。　高校物理からは、角度はラジアンというものを使います。
２π　rad＝３６０°　です。

次に、半径１メートルの円を考えて見ましょう。
半径１メートルの円の円周は何メートルだかはわかりますか？
直径×π　ですから、２π　メートルですよね。

ここで、この円を１秒間に１周する運動を考えましょう。
角速度は、１秒間に１周ですから、１秒間に３６０°回転する。　つまり、１秒間に２π　rad　だから、角速度は　ω＝２π

今度は速さを求めましょう。
１秒間に１周ですから、１秒間に２π　メートルですね。　だから速さｖ＝２π　となります。

以上より、ｖ＝２π
　　　　　半径ｒ＝１
　　　　　ω＝２πで、　２π＝１×２πが成り立ったでしょ？

今度は半径２メートルで考えれば
円周が　直径×π＝4π　１秒1周とすれば、ｖ＝４π
角速度ω＝２π　半径２
より、　４π＝２×2π　が成り立つでしょ？

実際に自分で色々と計算したり、考えたりすると、すんなりと頭に入っていくと思うよ。
頑張って！

お礼

ありがとうございます。なんとなくですがわかった気がします。これから問題集をといてみます。

回答No.5

sanori

半径ｒの円を考えましょう。
１点が、円周上を１回りしたときの道のりは、
２πｒ

１周３６０度を回るのに、かかる時間をＴとしましょうか。

すると、円運動の速度は、
ｖ＝２πｒ÷Ｔ　・・・（ａ）

さて、次にラジアンの説明をしましょうか。
半径１の円を元にして、ある中心角の扇形をつくると、扇形の円周部分（弧）の長さは
２π×１×角度÷３６０＝２π・角度／３６０
しかし、この式はかっこ悪すぎるので、もっと簡単にするために、この「半径１の扇形の円周弧の長さそのものを「角度」と呼ぶことにしよう」という決まりごとをつくったとします。
すると、
ラジアン角度　＝　２π・角度／３６０

（こうしておけば、たとえば、半径ｒ、中心角θ（ただし角度はラジアン表示）の扇形の円周弧の長さはｒθ、扇形の面積はｒ×ｒ×θ÷２、とすっきり簡単な式になります。）

そうすると、ラジアンで言うと、３６０度と同じ意味になる角度は２πということになります。（上記の「角度」に３６０を代入すればわかります）

ですから円を一周するのに時間Ｔだけかかるような円運動の角速度ωは、２πをＴで割ればよいので
ω＝２π／Ｔ
だから、
Ｔ＝２π／ω　・・・（ｂ）

では、仕上げに（ｂ）を（ａ）に代入してみてください。
・・・・ね！

これで、いっちょあがり！

要は、式がすっきり簡単な形になって便利なので、物理や数学では角度の単位に「度」ではなく、「ラジアン」が使われるのです。

お礼

ラジアンの意味がよくわかり、とても参考になりました。ありがとうございました。

回答No.4

mmky

参考までに
直線運動をしている場合の速度Vは単位時間当たりの移動距離でV＝Δｘ/Δｔになりますね。では、半径ｒで回転運動している場合はどうでしょう。この場合,移動距離Δｘを角度Δθで表すと、Δｘ＝ｒ*sinΔθ、角度Δθが十分小さいと　Δθ＝sinΔθ　の性質があるので、
Δｘ＝ｒ*Δθ
これから速度V＝Δｘ/Δｔ＝ｒ*Δθ/Δｔ
ここで特別に（Δθ/Δｔ）を角度の速度なので角速度ωと
して、速度V＝Δｘ/Δｔ＝ｒ*Δθ/Δｔ＝ｒ*ω　と表現しているのです。ただそれだけのことです。

回答No.3

ym-marutea

No2の方が「参考」としている内容がわかるようでしたら、この質問はそもそも無いでしょうね。
「三角関数の時間微分」による取り扱いは、一般的には高校３年生でも結構しんどいようです。
しかし、「微分」の取り扱いになれてしまうと、高校の物理の教科書がばからしくなってくるのでぜひチャレンジして欲しいと思います。物理を学習する上で、「微積分」などの数学は「必須の道具」です。大工さんがのこぎりやカンナなしに家を建てられると思いますか？？「微積分」を避けて通ろうとする人は、そういった道具なしに家を建てようとするのと同じくらいばかげたことです。
で、肝心なことは「弧度法」をしっかり勉強してください。
　円弧の長さ＝半径×中心角

です。同様に、
　速度（単位時間あたりの円弧の長さの変化）＝半径×角速度（単位時間あたりの中心角の変化）
となります。
また、これで理解できないようでしたら、教科書の図をしっかり「自分で書いてみてください。
ps
答えてくれない先生は、決して冷たいとは思いません。どこがとのようにわからないか、キチンと準備して質問しましょう。何となく質問するようでは、はじめから授業をやり直すのと同様の労力が必要です。先生は（世間で言われるほど）暇ではないですよ。

回答No.2

tsukudani

下記ＵＲＬを参照してください。
速度を（横方向の速度）ｙ（縦方向の速度）に分解して考えているのがポイントです。

蛇足：等速円運動している玉の軌跡は○です。
これを横から見ると　｜　に見えます。この状態では玉は「等速」に動いているようには見えません。　
『　｜　』この棒の一番上と一番下では見かけ上速度が０（ゼロ）になっています。中心がもっとも早く動いているように見えます。
それが縦方向の速度（ｙ）ということです。
同様に真下から等速円運動の玉の速度を見ると、その位置によって玉の速度が違って見えます。これが横方向の速度（ｘ）ということです。

こういう風に想像すると少し分かりやすいと思います。

参考URL：

http://www5.plala.or.jp/h-fuchi/physics/mechanics/mechanics3.htm

お礼

参考ＵＲＬはとてもよくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.1

Teleskope

角度をあらわす単位で、ラジアンってあるのは分かってますか？　それをじっくり納得するのが必要です。これが分かってないと「根無し草」になります。
いっぱいレスがつくと思うので、分かるまで質問を何度も繰り返すことです。

#しかし非情な教員だね。