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オイラーの公式を用いた無限級数の和について
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1)nを2以上の整数とする時、次の等式を証明しなさい。 S=∑[k=1→n-1]cos(kπ/n) オイラーの公式 e^(ix)=cosx+isinxよりcosx=Re(e^(ix)) (Re:実数部)、よって cos(kπ/n)=Re(e^(ikπ/n)) S=∑[k=1→n-1]cos(kπ/n)=∑[k=1→n-1]Re(e^(ikπ/n))=Re∑[k=1→n-1](e^(ikπ/n)) r=e^(iπ/n)とするとSは公比をrとする等比級数の和である。従って S=Re[r(1-r^(n-1))/(1-r)]=Re[(r-r^n)/(1-r)] r^n=[e^(iπ/n)]^n=e^(iπ)=-1, r=cos(π/n)+isin(π/n)=cosp+isinp (p=π/n) S=Re[(r-r^n)/(1-r)]=Re[(r+1)/(1-r)]=Re{cosp+isinp+1)/(1-cosp-isinp)] =Re[cosp+isinp+1)(1-cosp+isinp) /(1-cosp-isinp)(1-cosp+isinp)] (分母の実数化) =Re[(1-cos^2p-sin^2p+2isinpcosp) /(1-cosp)^2+sin^2p) =Re[isinp/(1-cosp)]=0 2)次の無限級数の和を求めなさい。 L=∑[n=1→∞]1/3^n・sin(2nπ/3)=∑[n=1→∞]1/3^n・Im[e^(i2nπ/3)] =Im∑[n=1→∞][1/3^n・e^(i2nπ/3)]=Im∑[n=1→∞][e^(i2π/3)/3]^n r=e^(i2π/3)/3とすると L=Im∑[n=1→∞]r^n=Im{lim(n→∞)[r(1-r^n)/(1-r)]} |r|=1/3<1なのでlim(n→∞)r^n=0 L=Im[r/(1-r)] r=(cos(2π/3)+isin(2π/3))/3=(-1/2+i√3/2)/3)=(-1+i√3)/6 r/(1-r)=[(-1+i√3)/6]/[1-(-1+i√3)/6]=[(-1+i√3)]/[6-(-1+i√3)]=[(-1+i√3)]/[7-i√3)] =[(-1+i√3)(7+i√3]/[7-i√3)(7+i√3)]=(-5+i3√3)/26 L=Im[r/(1-r)}=Im[(-5+i3√3)/26]=3√3/26
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