ロープの垂れ下がる数式

質問

直線上にA.B.Cの鉄塔があり、
Aは高さ１００m、Bは高さ ７０m、Cは高さ２００m
AからBは４０m,BからCは４６０m離れています。
AからCにロープを張り、ロープを垂れ下げていくと地上に接触します。Aからどの位置で地上に接触し、この状態だとBに触れるのか否か教えて下さい。できる限り簡単な計算式（公式）でお願いします。

回答No.4

noname#17965 · ベストアンサー

#2に補足します。

接地点座標を原点(0.0)として水平方向にｘ軸、上下方向をｙ軸として座標系を設定します。以下、図面に書いて考えて下さい。

ロープは接地点（０，０）を頂点とする放物線を描きます。その式は
y=b*x＾2　ｂは定数
これが、Ａ塔、Ｃ塔を通ることよりｂやＡ、Ｃの位置を求めます。

Ａ塔先端のｘ座標は分からないのでｘ１とおきます。
ｙ座標は１００です。
これを点Ａ（ｘ１、１００）と書きます。
Ｃ塔先端のｘ座標も分からないのでｘ２とおきます。
ｙ座標は２００です。
これを点Ｃ（ｘ２、２００）と書きます。

この放物線はＡ（ｘ１、１００）を通ります。
また、Ｃ（ｘ２、２００）も通ります。
上記２点は放物線の式を満たすので、式に代入して
１００＝ｂ*ｘ１＾２　　　　（１）
２００＝ｂ*ｘ２＾２　　　　（２）
この式からｘ１が求まれば、Ａ塔から何メートルに位置でロープが接地するか分かります。ちなみに、ｘ１はマイナスの値です。理由は原点（０，０）よりも左側にあるからです。答えが出たらマイナス符号外せばＯＫですけどね。ｘ２は原点よりも右側にあるのでプラスの値です。

（１）を（２）で割り算すると
１／２＝（ｘ１/ｘ２）＾２
平方根をとって
±１／√２＝ｘ１/ｘ２
上記に書いたとおりｘ１＜０、ｘ２＞０なのでｘ１/ｘ２はマイナスになります。従って
ー１／√２＝ｘ１/ｘ２　　　（３）

ここで、ーｘ１＋ｘ２はＡ塔とＣ塔の距離になります。図で確認して下さい。
ーｘ１＋ｘ２＝４６０＋４０＝５００　　　　（４）
（３）を変形してｘ２＝－√２*ｘ１　これを（４）へ代入すると
ーｘ１ー√２*ｘ１＝５００
ｘ１＝ー５００／（√２＋１）＝ー２０７
（４）へ代入して
ｘ２＝５００＋ｘ１＝５００ー２０７＝２９３
（１）よりｂ＝１００/ｘ１＾２＝０．００２３３３

役者はそろいました。ｘ１、ｘ２、ｂ全て求まりました。接地点はＡ塔からーｘ１＝２０７メートルの位置です。Ｃ塔からｘ２＝２９３メートルの位置と言ってもいいです。

さて、Ｂ塔に当たるかどうかです。Ｂ塔のｘ座標をｘ３とすると
ｘ３＝ｘ１＋４０＝－１６７
となります。分かるでしょうか？Ｃ塔のｘ座標ｘ３におけるロープの高さは、ｘ３を放物線の式に代入すれば計算出来ます。
ｙ＝ｂ*ｘ３＾２＝６５メートル

Ｃ塔は高さ７０メートルなので、、、ぶつかりますね。
残念。

お礼

丁寧に教えて頂き大変ありがとうございます。
理解できました。

回答No.3

mmky

y=b*x＾2　から最後まで、理解できません。

垂れ下がった格好が放物線（参考のhttp://www.nikonet.or.jp/spring/V_curve/catenary/catenary.htm）の図面のような形状をしているとすると、一番低いところ（地面に接する点）を基準にしてA鉄塔までの任意の長さｘ1と線の高さｙ１の関係を
線の高さ＝係数＊（任意の長さ）＾２　とすれば、
基準点からA鉄塔までの線の高さは、係数をbとすれば、y１=b*x１＾2　で表されます。
地面に接した場所、まだ仮でわからないのですがそこは高さがゼロなので基準点としているわけです。
同じように基準点から鉄塔Cまでは、y2=b*x2＾2　とします。この二つの式に鉄塔の高さと、鉄塔間距離５００ｍ＝x1+x2 の条件を入れてやればということです。
係数bは同じなので高さが１００と２００の関係から条件として、x1/x2=1/√2　が出てきます。x１が鉄塔Aから見ると接地点までの距離となります。そのように考えれば近似計算は出来ます。

お礼

少しずつ理解できたのですが、

条件として、x1/x2=1/√2　　のところが解りません。

今一度ご教授願います。

回答No.2

mmky

＃１のibm_111さんのご指摘のように懸垂線問題
ですが放物線近似で簡単に

接地点座標を(0.0)にして放物線近似を
利用すると、
y=b*x＾2
座標(0,0)とA鉄塔とC鉄塔までの距離をそれぞれ
x1,x2とすれば
100=b*x1＾2
200=b*x2＾2
x1/x2=1/√2
x1＋x2=x1*(1+√2)=500
x1=207, x2=500-207=293
b=0.002333
A鉄塔から２０７ｍ地点で接地ということです。
B鉄塔については、
x3=x1-40=207-40=164
y3=b*x3＾2=62.7
放物線近似ですとB鉄塔の高さ７０m だから
あたりますね。

お礼

MMKYさん回答有難うございます。
ヘリで鉄塔にロープを張る作業を計画しています。
専門職の方（電力会社）に聞けばよいのですが、その前に自身の勉強、つまり基礎知識と思い投稿しました
30年以上前に学校を巣立ちました。高校生1年程度の能力と思って教えて頂けないでしょうか？

y=b*x＾2から最後まで、単位等すら理解できません。
宜しくお願いします。回答の補足に間違えて打ってしまいました。申し訳ありません。

補足

MMKYさん回答有難うございます。
ヘリで鉄塔にロープを張る作業を計画しています。
専門職の方（電力会社）に聞けばよいのですが、その前に自身の勉強、つまり基礎知識と思い投稿しました
30年以上前に学校を巣立ちました。高校生1年程度の能力と思って教えて頂けないでしょうか？

y=b*x＾2　から最後まで、理解できません。
宜しくお願いします。

回答No.1

noname#108554

懸垂線(カテナリー)でしょうね。

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/V_curve/catenary/catenary.htm