非斉次方程式の特殊解の求め方について

質問

非斉次方程式 y"-4y'+3y = 3x-1 の特殊解を求めたいと思います。
この方法を教えてください。

間違っているかも知れませんが以下のように辿りました。

まずこの方程式の左辺を斉次方程式として基本解を求めます。
y"-4y'+3y = 0 から y^2-4y+3 として (y-1)(y-3) より y は 1 と 3 。

ここから
y = c1(x)e^x + c2(x)e^3x とし、
y'= c1(x)e^x + 3c2(x)e^3x + ( c1'(x)e^x + c2'(x)e^3x )
後ろの括弧内を 0 とするような c1, c2 として更に微分
y"= c1(x)e^x + 9c2(x)e^3x + ( c1'(x)e^x + 3c2'(x)e^3x )

これらを元の方程式に代入する
( c1(x)e^x + 9c2(x)e^3x ) + ( c1'(x)e^x + 3c2'(x)e^3x )
- 4( c1(x)e^x + 3c2(x)e^3x )
+ 3( c1(x)e^x + c2(x)e^3x )
= c1'(x)e^x + 3c2'(x)e^3x
→ c1'(x)e^x + 3c2'(x)e^3x = 3x-1

「ここから」の下 2 行目の仮定より c2'(x)e^3x = -c1'(x)e^x を利用して
c1'(x)e^x + 3( -c1'(x)e^x ) = -2c1'(x)e^x = 3x - 1
c1'(x) = ( 3x - 1 ) / ( -2・e^x )
c1(x) = (3x+2) / 2e^x

同様に
-c2'(x)e^3x + 3c2'(x)e^3x = 2c2'(x)e^3x = 3x-1
c2'(x) = ( 3x - 1 ) / ( 2・e^3x )
c2(x) = -(x・e^-3x) / 2

c1(x) と c2(x) を「ここから」の次の行の式に代入して
y= c1(x)e^x+c2(x)e^3x
= ((3x+2)/2e^x)e^x + (-x/(2・e^3x))e^3x
= (3x+2)/2-x/2
= x + 1

‥‥とやってみたのですが、途中式まで含めて答えは合っているでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

質問者がやっている方法は「定数変化放」という、微分方程式の解法として定番の方法の一つで、全く問題はありません。特に

y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)

のような、定数係数でない場合も適用可能な、汎用性のある方法です。

教科書では

y"-4y'+3y = 3x-1

のような定数係数の非斉次方程式の特殊解を求め方として、（1）演算子の逆関数を右辺に適用する方法、または（2）右辺の関数形に応じて特殊解の形を予想して解く方法が示されており、（2）においては、この問題のように多項式の場合は特殊解を多項式として、係数を左辺の微分の演算の条件から決定する「未定係数法」、または「整級数展開法」が記述されていると思います。

上記の（2）は右辺の関数形に応じて特殊解の形を変える必要があり（右辺が指数関数だと特殊解を指数関数にするなど）、その変え方は多分に経験的なため、最初は戸惑うことが多い難点がありますが、使えるようになるときわめて実践的です。

定数係数の微分方程式においては（1）の演算子法が最も汎用性が高く、ラプラス変換法もこれを発展させたものとみなすことができます。

最初は色んな方法を試すべきです。その中から気に入ったのを使えるようにするのが最も効果的です。

お礼

丁寧にありがとうございました。
まだ勘働きが出来る水準ではないので少し先になるかと思いますが、他の選択肢も選べるように考えてみます。アドバイスをいただいたとおり、いろいろな方法があるようですし。

回答No.1

26803TT519

特殊解は1つ求めればよく, ax + b という形だと予想できます.
あとは代入して,
y'' - 4y' + 3y = 3ax - 4a + 3b = 3x - 1
連立方程式を解いて, a = b = 1 が得られます.
よって, 特殊解は x + 1 で正しいです.

「余計なお世話」と言われるかもしれませんが, こういう問題を真面目に計算して解くと, 試験のときなどは時間が足りなくなって大変ですよ.
私の知る限りでは, まずは勘に頼るのが最善です.

お礼

ありがとうございます。
初めて解いてみたのですが通算では半日くらいかかったような気がします。
まずは基本からと思っていて慣れれば掛かる時間はずっと短くなると思いますが、
確かに楽な方法を見つけないとこの先辛そうです。暗算できる量でもなさそうですし。
アドバイスの通りそちらの方法も探ってみます。