関数の数値 平方根

質問

√0.5が0.707…となるわけを教えてください。

回答No.6

staratras

回答者が中学・高校在学当時は平方根を筆算で求める方法（開平法）を数学の時間に教えてもらった記憶がありますが、回答者はご質問の趣旨をそのような具体的な計算法を知りたいのではなく、√(0.5)=0.707…となることを示すには（電卓や筆算などで計算する以外に）どうしたらよいか、ということだと考えました。（違っていたらごめんなさい）

もちろん、0.707^2=0.499849、0.708^2=0.501264 だから　0.707<√(0.5)<0.708　ですが、ではこの0.707はどこから持ってきたのだろう、という疑問が生じますので、最初から考えてみました。（相当はしょっていて厳密な証明ではありません）

まず、正の整数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…とこれを2乗した数、1,4,9,16,25,36,49,64,81,100…を考えます。
ここで2乗した数の中から2つの異なる数を選んで、一方がもう一方のちょうど1/2にできれば 、√(0.5)を即座に求めることができますが、√(0.5)（＝（√2のちょうど1/2）は有理数ではないのでそれは不可能です。ただしできるだけ0.5に近い範囲で「はさみうち」にすることはできます。

上に挙げた数の中から選べば、0.49=(49/100)<0.5<(25/49)=0.5102…　です。この各辺は正なのでそれぞれ平方根をとって、7/10<√(0.5)<5/7 …（１）小数にすれば　0.7<√(0.5)<0.714…　これを出発点にします。

ここで（１）の不等式の左辺と右辺にある√(0.5)の下限と上限を示す分数（7/10と5/7）の「分母同士の和を分母とし、分子同士の和を分子とする新しい分数」（ルール1）（7+5)/(10+7)=12/17 を考えると、7/10<12/17<5/7 が成り立ちます。また（12/17)^2=144/289<0.5 なので、これを新たな下限とすることができます。

このとき新しい上限は、「新たな下限の分母を分子とし、新たな下限の分子の2倍を分母とする分数」（ルール２）で求めることができます。具体的には（17/(12*2))=17/24 です。まとめると　12/17<√(0.5)<17/24 小数にすると、0.7058<√(0.5)<0.70833…　少し範囲を狭くすることができました。

この操作をさらに続けますと、29/41　という次の新たな分数が得られ、(29/41)^2=841/1681>0.5 なのでこれは次の新たな上限となります。このとき新たな下限も上の（ルール２）のやりかたで（下限を上限に読み替える必要はありますが）求めることができて、41/58　です。
41/58<√(0.5)<29/41 すなわち0.7068…<√(0.5)<0.7073…

この操作を繰り返してゆくと、
70/99<√(0.5)<99/140、
239/338<√(0.5)<169/239、
408/577<√(0.5)<577/816、
1393/1970<√(0.5)<985/1393 …　と次々に範囲が狭まってゆきます。最後の不等式を小数にすると
0.7071065…<√(0.5)<0.7071069…　です。

ひとこと付け加えますと、分数をy/xとすると、「x^2-2y^2=1の解の組み合わせが下限で、x^2-2y^2=-2の解の組み合わせが上限」のペアと「x^2-2y^2=2の解の組み合わせが下限で、x^2-2y^2=-1の解の組み合わせが上限」のペアが交互に登場する興味深い結果です。ルール（1）と（2）によって、次々に下限と上限の新たな分数が得らるのは、x^2-2y^2=±1の解とx^2-2y^2=±2の解を次々に計算しているからです。xとyの値が大きくなるにつれて、どの方程式の解のy/xの値も√(0.5)に限りなく近づいて行き、右辺の定数項が正の方程式が下限に、定数項が負の方程式が上限となることは明らかです。

厳密さを欠いた説明で恐縮ですが、具体的な開平計算をしなくても、「√(0.5)=0.707…となることを示す」ことはできます。

回答No.5

shintaro-2

＃４さんの考えるような質問の気がします

１より小さい数同士を掛け合わせると、
元の数より小さくなるからです。

0.1*0.1は0.01　（1/10*1/10だから）
従って√（0.01）は±0.1

0.7*0.7は0.49　　（7/10*7/10だから）

0.7071・・・*0.7071・・・＝0.5　となります

回答No.4

178-tall

>√0.5が0.707…となるわけ…

「平方根 (r) のほうが (A よりも) でかくなるのはなぜ？」… という問いにも見える。

A - r = r^2 - r = r(r-1) だろうから、(0 < ) r < 1 の場合なら A - r < 0, つまり A < r だろう… などという弁解じゃ、通用しないかナ。

回答No.3

178-tall

>√0.5が0.707…となるわけ…

これは、究極の難問。

　(0.707)^2 = 0.499849
　(0.7072)^2 = 0.50013184

… だから、√0.5 は 0.707 と 0.7072 の間にある … という弁解じゃ、通用しそうない気配ですから。

回答No.2

bran111

√0.5=√(1/2)=1/√2=√2/2=1.41421356.../2=0.70710678...

回答No.1

mshr1962

√0.5
=√(1/2)　…小数を分数に直すと
=1/√2　　…√を分子・分母でばらすと
=√2/2　　…分子・分母に√2を掛けると
=1.4142.../2　　…√2=1.4142...だから
=0.707...