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定積分の計算をしていただきたいです
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I=(K^2/pi)*∫[0 to b](b-τ)*cos(ωτ)dτ ∫[0 to b](b-τ)*cos(ωτ)dτ =[{(b-τ)/ω}*sin(ωτ)]+(1/ω)*∫[0 to b]sin(ωt)dτ =(1/ω^2)*{1-cos(ωb)} =(1/ω^2)*2*sin^2(ωb/2). よって、 I=(K^2/pi)*2*sin^2(ωb/2)/ω^2 =(K^2/pi)*2*{sin^2(ωb/2)/(ωb/2)^2}*(4/b^2) ={K^2b^2/2pi}*{sin^2(ωb/2)/(ωb/2)^2}. ------------------- ※半角(倍角の公式)により、結果を変形しているだけです。
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>S(ω)=1/(2π)∫[-b→b]K^2(b-|τ|)cosωτdτ =K^2b/(2π)∫[-b→b]cosωτdτ-K^2/(2π)∫[-b→b]|τ|cosωτdτ ここで S1(ω)=K^2b/(2π)∫[-b→b]cosωτdτ S2(ω)=K^2/(2π)∫[-b→b]|τ|cosωτdτとおくと、 S1(ω)の∫[-b→b]cosωτdτはωτ=tで置換して dτ=dt/ω、τ=-bでt=-ωb、τ=bでt=ωbだから ∫[-b→b]cosωτdτ=∫[-ωb→ωb]costdt/ω =(1/ω)(sint)[-ωb,ωb]=(1/ω){sinωb-sin(-ωb)}=(2/ω)sinωb よってS1(ω)={K^2b/(πω)}sinωb S2(ω)の∫[-b→b]|τ|cosωτdτは図からb>0であり、τcosωτは 奇関数だから ∫[-b→b]|τ|cosωτdτ=∫[-b→0](-τ)cosωτdτ+∫[0→b]τcosωτdτ =∫[0→-b]τcosωτdτ+∫[0→b]τcosωτdτ=2∫[0→b]τcosωτdτ ここで∫τcosωτdτは部分積分により ∫τcosωτdτ=(1/ω)τsinωτ-(1/ω)∫sinωτdτ =(1/ω)τsinωτ+(1/ω)^2cosωτ+C(定数)だから ∫[-b→b]|τ|cosωτdτ=2{(1/ω)τsinωτ+(1/ω)^2cosωτ}[0,b] =2(1/ω)bsinωb+2(1/ω)^2cosωb-2(1/ω)^2 よってS2(ω)=K^2/(2π){2(1/ω)bsinωb+2(1/ω)^2cosωb-2(1/ω)^2} ={K^2b/(πω)}sinωb+{K^2/(πω^2)}cosωb-K^2/(πω^2) 以上から S(ω)=S1(ω)-S2(ω) ={K^2b/(πω)}sinωb-{K^2b/(πω)}sinωb-{K^2/(πω^2)}cosωb+K^2/(πω^2) ={K^2/(πω^2)}(1-cosωb)={K^2/(πω^2)}[1-{cos^2(ωb/2)-sin^2(ωb/2)}] ={K^2/(πω^2)}[1-{1-sin^2(ωb/2)-sin^2(ωb/2)}] ={K^2/(πω^2)}{2sin^2(ωb/2)}={K^2b^2/(πω^2b^2)}{2sin^2(ωb/2)} =[K^2b^2/{π(ωb)^2}]{2sin^2(ωb/2)}=(K^2b^2/π){2sin^2(ωb/2)}/(ωb)^2 =K^2b^2/(2π){4sin^2(ωb/2)}/(ωb)^2=K^2b^2/(2π){sin^2(ωb/2)}/{(bω)^2/4} =K^2b^2/(2π){sin(ωb/2)/(bω/2)}^2
お礼
回答ありがとうございます。
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