空間ベクトルを利用した、体積の求め方について（大学受験）

質問

青チャートに載っている空間ベクトルの問題です。空間は苦手で、現在克服中です。よろしくお願いいたします。

OAベクトル=(1,2,3),OBベクトル=(4,1, －2),OCベクトル=(－1,5,－3)のとき、OA,OB,0Cを３辺とする平行六面体の体積Vを求めよ、という問題です。

私は、（底辺×高さ）だな、と思い、│0A│・│0B│・│0C│としたのですが、間違いでした。
解説によると、0A,OBは直角だが、0Bと0Cは直角ではないためとあり、それは、納得できました。ただ、どのように高さを求めるのかわからず、解答を読んだのですが、わかりません。
解答には、
「OA,OBに垂直な単位ベクトルをｎベクトル=(p,q,r)とし、高さを求める。
高さは│ｎ・0C│より求まり、高さは、7√６/3とあります。

ですが、ここが、わかりません。どうして、OA,OBに垂直な単位ベクトルが高さになるのでしょうか。
また、それが、どうして、単位ベクトル、としておかれているのでしょうか。
また、どうして高さが、│ｎ・0C│と表すことができるのでしょうか。、
解答には、図も載っているのですが、わかりません。

私の勉強不足なのですが、質問する人がいないため、困っています。
どなたか、ご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また、説明不足の点があれば、補足させていただきますので、宜しくお願いいたします。

回答No.4

akn1aj · ベストアンサー

AN0.#2の後半でOAベクトル ⇒ OCベクトル と修正します。copy, paste でやると、つい修正未実施となってしまう。

…さて、高さ |h| はOCベクトルとｎベクトルのなす角θとしてh = |OCベクトル|cosθ…(4)、つまりOCベクトルのｎベクトルへの正射影した長さです。つまり、内積をとればよい。 h = OCベクトル・ｎベクトル = |OCベクトル|・|ｎベクトル|cosθ= |OCベクトル| cosθ [∵ｎベクトルは単位法線ベクトルであるから（これがみそ）、|ｎベクトル|=1 ]…(4)’。(4)'を計算して、h = | (1 + 10 + 3)/√6 | = 7√6/3 …(5)。

お礼

早速ご回答をいただいていたようで、ありがとうございました。お返事が遅くなり申し訳ありません。また、めんどうくさい内容にもかかわらず、ご丁寧に説明していただきありがとうございました。

ご説明いただいた内容は、チャートの解答の方法と全く同じ方法でしたが、チャートの説明は、ほぼ数式が記載されているだけだったため、どうしてその式になるのかわからなかったのですが、akn1ajさんのご説明により、納得することができました。私は、θが違うところにとられていると、ずっと勘違いしていたため、どうして、（４）の式になるのかわからなかったのですが、今回明示していただいたため、うなずきながら、いわれてみれば…と、やっと納得することができました。また、ｎベクトルを単位ベクトルとしておくのは、後の計算を簡単にするためだったのですね。

♯１の方の方法も大変わかりやすかったのですが、チャート記載のこの方法も無事納得することができました。本当にありがとうございました。また、お聞きすることもあると思いますが、その時は、宜しくお願いいたします。御礼が遅くなり本当に申し訳ありませんでした。

回答No.5

kony0

>OA,OBに垂直な単位ベクトルが高さになるのでしょうか。

そうではなく、OA,OBに垂直な単位ベクトルが「高さ方向」になるのです。
これは、平面OABを底面にするときのこの立体の高さを考えようとすると、点Cから平面OABに垂線を下ろしますよね？

>どうして高さが、│ｎ・0C│と表すことができるのでしょうか。

ちょっとここで、次の平面図形の問題を考えてください。
（問題）△OABにおいて、AからOBに下ろした垂線の足をHとするとき、
(1)|OH|=|OA||cos∠AOB|=|OA・OB|/|OB|
(2)OH=|OH|*(OB/|OB|)=(|OA・OB|/|OB|^2)OB
(3)OB方向の単位ベクトルをeとすると、|OH|=|OA・e|
・・・これが「正射影ベクトル」の考え方であり、今の問題でいうところの、高さが|OC・n|である理由です。（ほとんど公式のようなものなのです）

・・・もし「外積」という“大学受験テクニック”をご存知であれば、OA×OB=(-7,14,-7)［もしかして正負逆かもしれない・・・］に対して、
|OA×OB|=7√6、高さ＝|OC・(OA×OB)|/|OA×OB|＝98/7√6=7√6/3と求めるのも明解です。

お礼

締め切る直前にご回答いただいたようで、ありがとうございました。

OA,OBに垂直な単位ベクトルが高さになるのか、に関しては、♯１、♯２の方のご説明と共に、理解することができました。ただ、正射影ベクトルについては、まだ勉強不足ですので、しっかり勉強したいと思います。
また、「外積」というのは、初めて聞きました。あまり参考書でも、見たことはありませんが、機会があれば、習得したいと思います。

ありがとうございました。

回答No.3

akn1aj

AN0.#2の後半でOAベクトル ⇒ OCベクトル と修正します。copy, paste でやると、つい修正未実施となってしまう。

…さて、高さ |h| はOCベクトルとｎベクトルのなす角θとしてh = |OCベクトル|cosθ…(4)、つまりOCベクトルのｎベクトルへの正射影した長さです。つまり、内積をとればよい。 h = OCベクトル・ｎベクトル = |OCベクトル|・|ｎベクトル|cosθ= |OAベクトル| cosθ [∵ｎベクトルは単位法線ベクトルであるから（これがみそ）、|ｎベクトル|=1 ]…(4)’。(4)'を計算して、h = | (1 + 10 + 3)/√6 | = 7√6/3 …(5)。

回答No.2

akn1aj

まず内積で直交条件から、ｎベクトル・OAベクトル= 0よりp + 2q + 3r = 0…(1), ｎベクトル・OBベクトル= 0より4p + q - 2r =0…(2) 。これより、r = p, q = - 2pで単位法線ベクトルであるｎベクトル=(1/√6)・(-1, 2, -1)…(3) となります。｛ｎベクトル=(1/√6)・(1, -2, 1)…(3)'としてもよいがOCベクトルとの向き（角度開き）を考えておく。｝さて、高さhはOAベクトルとｎベクトルのなす角θとしてh = |OAベクトル|cosθ…(4)、つまりOAベクトルのｎベクトルへの射影した長さです。つまり、内積をとればよい。OAベクトル・ｎベクトル = |OAベクトル|・|ｎベクトル|cosθ= |OAベクトル|cosθ [∵|ｎベクトル|=1]…(4)’。(4)'を計算して、h = | (1 + 10 + 3)/√6 | = 7√6/3 …(5)。

回答No.1

htc

では、さくっと。
点CからOABに下ろした垂線との交点をHとします。
次に、OH＝aOA＋bOB（a,b；実数）とします。ベクトルの記号は付いてるものとして見て下さいね。
これより、CH＝OH－OCになりますよね？
ここでCHをa,bを含むベクトルに直します。
（a＋4b＋1、2a＋b－5、3a－2b＋3）こんな感じになると思います。
で、これがOAとOBに垂直なのでOA×OH＝OB×OH＝０より、a=0,b=1/3となります。
これを上のCHのベクトルに代入すると、
(7/3,-14/3,7/3)になります。
これよりCHの長さ7√6/3が出ます。

goodoさんはチャートのやり方でやろうとしていますが、こちらの方がわかりやすく簡単ですよ！

お礼

さっそくお返事をいただきありがとうございました。お返事が遅くなって申し訳ありません。

教えていただいた方法で、自分でもやってみたのですが、おどろくほど、簡単に解くことができました。本当にありがとうございます。

解説に載っている方法で理解できなくて、他の方法を考えてみたりもしたのですが、やはりわからず、質問させていただいたのですが、本当によくわかり、質問してよかったと思っております。

本当にありがとうございました。また、お聞きすることもあるかと思いますが、その時は宜しくお願いいたします。