まず、これは因数分解ではありませんね。
言うなれば、部分因数分解です。
x^4-4x^3+14x^2-19x+26-(x+2)
=(x²-2x+6)(x²-2x+4)
のように結果を捉え、x+2を除外して因数分解を考えればいいということですね。
x+2が最初から示されていなければ、何を除外して因数分解出来るのかが決まりません。
(x^2-2x+6)(x^2-2x+4)
={(x-1)^2+5}{(x-1)^2+3}
=(x-1)^4+8(x-1)^2+15
なので、
例えば、
(x²-2x+7)(x²-2x+3)
={(x-1)^2+6}{(x-1)^2+2}
=(x-1)^4+8(x-1)^2+12
=(x^2-2x+6)(x^2-2x+4)-3
になり、
与式を、
(x^2-2x+7)(x^2-2x+3)+3+x+2
=(x^2-2x+7)(x^2-2x+3)+x+5
と変形することも出来ます。
よって、質問は最初から単に、
与式-(x+2)=x^4-4x^3+14x^2-18x+24
を因数分解するとして、結果を示さない方が、質問としての面白みと、回答し甲斐が出ます。