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楕円の周の求め方

  • 暇なときにでも
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お礼率 35% (62/177)

楕円の周の求め方を教えてください。

高校時代に習ったような、習っていないような思い出せず気持ち悪いです。
どなたかご存知の方、ご回答お願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 44% (81/181)

▼これは高校では習っていないと思います・・・すんごいことになりますよ。
 さて、一般に曲線上の点の位置ベクトルをrとすれば、曲線は
  r=r(t)                  (1)
というベクトル方程式で表すことができます。ここでtは任意の変数です。曲線上の任意の点で、
  dr/dt=lim⊿r/⊿t(limにおいて⊿t→0)   (2)
というベクトルをとると曲線に接し、これを接線ベクトルといいます。この接線ベクトルの長さを所定の範囲で積分して、曲線の長さsを
  s=∫√{(dr/dt)・(dr/dt)}dt
   =∫√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt      (3)
として求めることができます。
 楕円の中心を原点にとり、x軸方向に2aの長軸、y軸方向に2bの短軸をとると、周上の点(x,y)は、
  x=acosθ, y=bsinθ            (4)
と表すことができます。ここでθは原点の周りのx軸からの角度で、式(1)の変数tに対応します。式(3)と式(4)より、楕円の周の長さsは、
  s=4∫√{(-asinθ)^2+(bcosθ)^2}dθ
   =4∫√{a^2-(a^2-b^2)(sinθ)^2}dθ
   =4a∫√{1-(a^2-b^2)/a^2・(sinθ)^2}dθ   (5)
で与えられます。ただし積分範囲は0からπ/2です。式(5)はおなじみの第2種完全楕円積分を含んでいます。いま、
  k^2=(a^2-b^2)/a^2               (6)
とおくと、求める曲線の長さsは、
  s=4aE(k)                  (7)
となります。ここで、第2種完全楕円積分E(k)は、
  E(k)=π/2[1-(1/4)k^2-(3/64)k^4-・・・
      ・・・-{(2r-1)!!/(2r)!!}^2・k^2r/(2r-1)-・・・] (8)
で与えられます。ただし、n!!は、
  nが奇数のとき n!!=n(n-2)(n-4)・・・3・1
  nが偶数のとき n!!=n(n-2)(n-4)・・・4・2
  nが零のとき  0!!=1            (9)
と定義します。

 というようなわけで、ベクトル解析とか楕円積分とかの知識が必要です。やっぱり大学レベルの話だと思います。また、上記説明の中にも間違いがあるかもしれませんので、じっくりと検算をお願いいたします。
お礼コメント
yuji69

お礼率 35% (62/177)

TCMさん、詳しいご回答ありがとうございました。

ほんと、すんごいことになっていますね。
投稿日時 - 0000-00-00 00:00:00
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 44% (527/1181)

◆ごめんなさい、「専門家」と言っておいてちょっと「自信なし」なんですが… 楕円の周の長さって、やりましたっけ?? 方程式や焦点の座標などは習いますが… わからないので、自分で出してみました。 式が書きづらいので、式を読みますね。 長軸の長さを2a、短軸の長さを2bとします。 そのとき、 「2πb×ルートb分のa」でどうでしょうか? 間違いでしたら、ご容赦ください。 m(_ _)m
◆ごめんなさい、「専門家」と言っておいてちょっと「自信なし」なんですが…
楕円の周の長さって、やりましたっけ??
方程式や焦点の座標などは習いますが…

わからないので、自分で出してみました。
式が書きづらいので、式を読みますね。
長軸の長さを2a、短軸の長さを2bとします。
そのとき、
「2πb×ルートb分のa」でどうでしょうか?

間違いでしたら、ご容赦ください。 m(_ _)m


  • 回答No.2

高校では習ってないはずです。 というのは、楕円の周はきっちりと求まらないからです。 積分を使って近似値として求めるしかないはず。 しかもここらへんは楕円関数論とかの話に入っていく と思います。初等関数では表せない世界の話ですから もう大学レベルでしょう。 興味があれば楕円関数論の本などを読んでみては いかがでしょうか。私はパスします (^-^;;;;
高校では習ってないはずです。

というのは、楕円の周はきっちりと求まらないからです。
積分を使って近似値として求めるしかないはず。

しかもここらへんは楕円関数論とかの話に入っていく
と思います。初等関数では表せない世界の話ですから
もう大学レベルでしょう。

興味があれば楕円関数論の本などを読んでみては
いかがでしょうか。私はパスします (^-^;;;;
  • 回答No.4

楕円の周の求め方は高校時代には習っていません。 >高校時代に習ったような、習っていないような思い出せず気持ち悪いです 高校時代に習ったのは、標準的な楕円の方程式とグラフの関係を習っただけだと思います。
楕円の周の求め方は高校時代には習っていません。
>高校時代に習ったような、習っていないような思い出せず気持ち悪いです
高校時代に習ったのは、標準的な楕円の方程式とグラフの関係を習っただけだと思います。
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