mを実数とする。xの関係式f(x)=x^2+3x+

質問

mを実数とする。xの関係式f(x)=x^2+3x+mのm<=x<=m+2における最小値をgとおく。
(1)m>-3/2のとき、gをmを用いて表す。
(2)m<=-3/2のとき、gをmを用いて表す。

(3)mの値がすべての実数を変化するとき、gの最小値
答えは
(1)g=m^2+4m
(2)m<-7/2のときg=m^2+8m+10,
-7/2<=m<=-3/2のときg=m-9/4
(3)m=-4のとき最小値-6

(1)~(3)を教えて下さい。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

(1)m>-3/2のとき、gをmを用いて表す。
＞f(x)=x^2+3x+m=(x+3/2)^2+m-9/4のグラフの軸はx=-3/2だから
-3/2＜mであればf(x)が最小になるのはx=mのとき。
よってg=f(m)=m^2+3m+m=m^2+4m・・・答
(2)m<=-3/2のとき、gをmを用いて表す。
＞(ア)m+2≧-3/2すなわち-7/2≦m≦-3/2のときはf(x)の最小値は
f(x)の極小値になるので、g=m-9/4・・・答
(イ)m+2＜-3/2すなわちm＜-7/2のときにf(x)が最小になるのは
x=m+2のときだからg=f(m+2)=(m+2)^2+3(m+2)+m=m^2+8m+10・・・答
(3)mの値がすべての実数を変化するとき、gの最小値
＞-3/2＜mではg(m)=m^2+4m=(m+2)^2-4＞g(-3/2)=(-3/2)^2-4(3/2)=-15/4
-7/2≦m≦-3/2ではg(m)=m-9/4≧g(-7/2)=-7/2-9/4=-23/4
m＜-7/2ではg(m)=m^2+8m+10=(m+4)^2-6≧g(-4)=-6
よってgの最小値は-6・・・答