3次方程式x^3-3x-p=0 (p定数)の実数解のうち最大なものと最小なもの
との積をf(p)する。ただし、実数解が1つのときはそれを２乗する。
pがすべての実数とするとき、f(p)の最小値を求めよ。
次のように考えましたが、よいでしょうか。
与式が実数解を少なくとも２つもち、最小値を考えるから、pの範囲を-2<=p<=0とする。
与式の解をα、β、r とし、α<0<β<=rのときで考えば十分である。
解と係数の関係から、
α+β+r=0,αβ+βr+rα=3,αβr=p
最小値より、αrの値を考えればよい。αr＝kとおくと、
３本の式から、k^3+3k^2-p^2=0 ・・＊
-2<=p<=0より、0<=p^2<=4 で、＊の実数解の最小値を考えると
k=-3となる。
よろしくお願いします。
投稿日時 - 2010-09-02 16:39:51
#1です。
＞y=x^3-3xのグラフの対称性、また、明らかに最小値はマイナスから、
＞pの範囲を-2<=p<=0とし、(i)は除かれるとしました。
このあたりをきちんと説明できていれば、-2≦ p≦ 2の範囲に限定することができますね。
ただし、いきなりこの範囲に限定するとしてしまうと、確実に減点をくらいます。
たとえば、
-----------------------------------------------------
方程式：x^3- 3x- p＝ 0の解は、曲線：y＝ x^3- 3xと直線：y＝ pの共有点の x座標として与えられる。
g(x)＝ x^3- 3xとおいて、y＝ g(x)のグラフを考えると図のようになり（グラフの概形を描いておいて）、
(i) p＜ -2, 2＜ pのとき、実数解は 1個
(ii) p＝ ±2のとき、実数解は 2個
(iii) -2＜ p＜ 2のとき、実数解は 3個
となる。
(i)のとき、明らかに f(p)＞ 0である。
また、(ii), (iii)のときには、グラフの対称性より f(p)＜ 0となる。-----------------------------------------------------
このくらいまで論じておかないといけません。
逆にここまでだけでもかけておけば、入試ではある程度点数がもらえるとは思います。
投稿日時 - 2010-09-03 11:32:12
お礼
ありがとうございます。
どの程度説明すれば解答としてよいのか。
ご意見を聞けてよかったです。
勉強になります。
投稿日時 - 2010-09-07 09:48:29
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ベストアンサー以外の回答（1件中 1～1件目)
こんにちわ。
＞与式が実数解を少なくとも２つもち、最小値を考えるから、pの範囲を-2<=p<=0とする。
これではだめだと思います。
「実数解が1つのときはそれを２乗する。」とあるので、
(i) 実数解が 1つだけのとき
(ii) 実数解が 2つのとき
(iii) 実数解が 3つのとき
と場合分けした方がよいでしょう。
そして、pの範囲は限定されません。（上の 3つの場合分けで、全実数をとります）
(ii)の実数解が 2つというのは、1つは重解となるときです。
この場合分けは、pの値が確定（p＝・・・の形）しています。
ただし、pの値は 2とおりあります。
場合分けした関数をグラフで表して、最小値を求める。という手順になると思います。
投稿日時 - 2010-09-02 17:13:13
お礼
ありがとうございます。
y=x^3-3xのグラフの対称性、また、明らかに最小値はマイナスから、
pの範囲を-2<=p<=0とし、(i)は除かれるとしました。
＞場合分けした関数をグラフで表して、最小値を求める。という手順になると思います。
グラフの求め方と手順は質問で示したような感じででよいのでしょうか。
あまり、自信はないのですが・・・。
投稿日時 - 2010-09-03 08:33:28
