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複素平面
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|z|=2|z-3i| ...(1) |z|はzと原点z0=0+0 i との距離です。 |z-3i|は点z1=0+3 i との距離です。 z0との距離がz1との距離が2倍の点zの軌跡が求める軌跡で円になります。 z=x+yi (x,yは実数)とおくと |z|^2=x^2+y^2 |z-3i|^2=|x+(y-3)i|^2=(x+(y-3)i)(x-(y-3)i)=x^2+(y-3)^2 x^2+y^2=(2^2)*{x^2+(y-3)^2} 0=3x^2+3y^2-24y+36 x^2+y^2-8y+12=0 x^2+(y-4)^2=4 ...(2) ← 中心(0,4),半径2の円 これを複素数の式で表せば |z-4|=2 ...(3) となります。 つまり、点z=0+4 i を中心とする半径2の円です。
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- keiryu
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複素平面の軌跡は2乗などせず、そのまま考えた方が複素平面の理解にはよい。 これは、アポロニウスの円を示している式。だから、円とすぐ分かるようにしておくことが肝要かと。 一般に、アポロニユスの円の式は、|z-a|=k|z-b|と書ける。これを暗記しておくと早い。 与式は、|z-0|=2|z-3i|とかんがえる。 詳しくは、以下のページを参照
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