三角関数の解き方の詳細な解説
- 三角関数の解き方について、具体的な手順や途中式について詳しく解説します。
- 関数f(Θ)=sin(Θ-a)-sinΘの方程式f(Θ)=0の解Θの求め方や、特定の条件を満たす場合のaの値についても説明します。
- さらに、特定の式の途中結果における/2の理由や、-θがプラスに変わる理由についても解説します。
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三角関数の解き方の説明をお願いします。
aを0<a<πを満たす角度とする。0≦Θ≦πの範囲で関数f(Θ)=sin(Θ-a)-sinΘを考える。 (1) 方程式 f(Θ)=0 の解Θはaを用いて Θ=π/?+a/2 と表される。さらに、この解Θがsin(Θ-a)=1/2を満たすならば a=(?/?)π である。 という問題がありました。 解答には f(θ)=0⇔sin(θ-a)-sinθ=0 {θ+(θ-a)}/2=π/2⇔π/2(1つ目の?の答え)+a/2 (ここの右にθとθ-aの単位円が書いてあります。 ここで、 sin(θ-a)=sin(π/2+a/2-a) =sin(π/2-a/2) =cos a/2=1/2 (0<a/2<π/2) よって、 a/2=π/3 (a=2π/3)二つ目と3つ目の? となっていました。 この回答の1つ目の?の前の途中式でなぜ/2という形になっているのでしょう。 それとなぜ-θがプラスに変わるのですか? 2つ目の?と3つ目の?の前の途中式は全く分かりません。 三角関数を学校で習っていません(この先も習いません)ので、初めてでもわかるような詳細な解説をお願いします。
- skunk39
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- 数学・算数
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質問者が選んだベストアンサー
単位円の図があるのでしたね。 その図の中で、原点(単位円の中心)から右上方向と左上方向に直線が 伸びていませんか?その直線を動径といいます。図では右上に伸びる 動径が角度Θ-a、左上に伸びる動径が角度Θに相当しています。 ここでいう角度とは、x軸の正の方向(図では右方向)と動径の間の角 をいいます。 また、y軸は原点(単位円の中心)から真上に伸びています。従ってy軸は 角度でいうと90°(π/2)に当たります。 三角関数は習っていないとのことですが、この手の問題を理解するには 下記URLにあることは知っておく必要があるでしょう。 http://zine.ziehfeder.com/post/51296542475 添付の図には、角度がΘの動径しか書いてありませんが、これに角度 Θ-aの動径を書き足すと右上がりの線になるはずです。そして sinΘとsin(Θ-a)が等しくなるようにすると、二つの動径はy軸に対して 左右対称の位置にありませんか? 言い換えると、下記の二つの角 (1)角度Θの動径と、y軸の間の角 (2)角度Θ-aの動径と、y軸の間の角 は等しくなっていませんか?そして、(1)および(2)の角度をbとおくと、 (あ)bの二倍はaに等しくなり、 (い)ΘーbとΘ-a+bは等しくなって、その値は90°(π/2) になっていませんか?
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- gohtraw
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f(Θ)=0ということは、 sin(Θ)=sin(Θ-a) ということです。これを単位円との関係で考えると、 角Θに対応する動径と、角(Θ-a)に対応する動径がy軸に対して対称の 位置にあるということです。 ということは、2b=aとなるような角b(つまりaの半分)を考えると、 Θ-b=Θ-a+b=π/2 となりませんか? ここまでOKであれば、 sin(θ-a)=sin(π/2+a/2-a) =sin(π/2-a/2) は単に角の置き換えで書きかえられます。ここから =cos a/2 に持っていくのは三角関数の公式で sin(π/2-φ)=cos(φ) というのを使います。
お礼
ご回答ありがとうございます。 角Θに対応する動径と、角(Θ-a)に対応する動径がy軸に対して対 称の位置にあるということと 2b=aとなるような角b(つまりaの半分)を考えるというところがいまいち理解できません。 理解力が足りず申し訳ないのですが、私でも分かるように説明していただけませんか?
- sanzero
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ちゃんと見てませんが和積の公式からですね sinA - sinB = 2cos{(A+B)/2}sin{(A-B)/2}
お礼
ご回答ありがとうございます。
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お礼
ご回答ありがとうございます。 大変詳しいご回答で助かります。 参考になりました。