微分方程式の定数変化法の問題について

質問

この写真の
185.186(1).187(1),(2)が本当によくわかりません。

どうか教えて下さい。

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

185

dx/dt=(tx-2x^2)/t^2 (1)

⇒ dx/dt+2(x/t)^2=(x/t)

dx/dt+2(x/t)^2=0の解を求める。

dx/dt=-2(x/t)^2 ⇒ -dx/x^2=2dt/t^2

両辺積分して

1/x=-2/t+c ⇒ x=t/(ct-2) (2)

定数変化法によりc=c(t)として(1)の解を求める。

x,dx/dt=-(2+c’(t)^2)/(ct-2)を (1)に代入

-(2+c’(t)^2)/(ct-2)=1/(ct-2)-2/(ct-2)^2 ⇒ c’t+c=2/t ⇒ d(ct)/dt=2/t

⇒ ct=2log(t)+d

(2)に代入

x=t/(2logt+d-2)

初期条件　t=1,x=1　を用いて d=3

x=t/(2logt+1)

186

dx/dt+3x/t=1/t+1 (1)

dx/dt+3x/t=0の解を求める。

dx/x=-3dt/t ⇒ logx=-3log(t)+c ⇒ x=ct^(-3)

定数変化法によりc=c(t)として(1)の解を求める。x=c(t)t^(-3)を(1)に代入

c’t^(-3)+c(-3)t^(-4)+3ct^(-4)=1/t+1 ⇒ c’=t^2+t^3

c=t^3/3+t^4/4+d ⇒ x= c(t)t^(-3)=1/3+t/4+d/t^3

187(1)

dx/dt-2tx/(t^2+1)=t^3+t (1)

dx/dt-2tx/(t^2+1)=0の解を求める。

dx/dt=2tx/(t^2+1) ⇒ dx/x=2tdt/(t^2+1)=d(t^2+1)/((t^2+1)

⇒ logx=log(t^2+1)+c ⇒ x=d(t^2+1)

定数変化法によりd=d(t)として(1)の解を求める。x=d(x)(t^2+1)を(1)に代入

d’(t)(t^2+1)+2dt-2dt(t^2+1)/(t^2+1)=t^3+t ⇒ d'=t ⇒ d=t^2/2+e

x=(t^2+1)(t^2/2+e)

初期条件　t=0,x=0　を用いて e=0

x=(t^4+t^2)/2

187(2)

dx/dt+2tx=2te^(-t^2) (1)

dx/dt+2tx=0の解を求める。

dx/x=-2tdt ⇒ logx=-t^2+c ⇒ x=de^(-t^2)

定数変化法によりd=d(t)として(1)の解を求める。x=d(x) e^(-t^2)を(1)に代入

d’e^(-t^2)-2tde^(-t^2)+2t de^(-t^2)=2te^(-t^2) ⇒ d’=2t ⇒ d=t^2+f

x=( t^2+f) e^(-t^2)

初期条件　t=0,x=1　を用いて f=1

x=( t^2+1) e^(-t^2)

お礼

ありがとう御座います
丁寧な解説でわかりやすかったです！

回答No.2

Ae610

185. dx/dt = (tx-2x^2)/t^2 　　(t=1でx=1)
→ x = t/(2・ln{(√e)t})

186. dx/dt + 3x/t = 1/t + 1
→ x = C・t^(-3) + t/4 + 1/3　(C：積分常数)

187.(1)　dx/dt - 2tx/(t^2+1) = t^3 + t　　(t=0でx=0)
→ x = (1/2)・(t^4 + t^2)

187.(2)　dx/dt + 2tx = 2te^(-t^2)　　(t=0でx=1)
→ x = (t^2 + 1)・e^(-t^2)

(もとの式に入れて確かめてみて・・!!)

お礼

ありがとうございます！^ - ^

回答No.1

Tacosan

「定数変化法」って自分で書いてるくらいだから, それに従ってみたら?