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対数関数 解の個数
tetra_oの回答
- tetra_o
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まず、与えられた式を変形します。 log[2](x-3)=log[4](2x-a) log[2](x-3)=1/2*log[2](2x-a)=log[x]√(2x-a) ∴ x-3 = √(2x-a) 両辺を二乗して、整えれば、x^2-8x+9+a=0 但し、真数条件よりx>3且つx>a/2 さて、x^2-8x+9+a=0 を変形すると、 a=-(x-4)^2+7 これはつまり、xy平面上におけるy=aのグラフとy=f(x)=-(x-a)^2+7のグラフの交点の個数が、log[2](x-3)=log[4](2x-a)の解の個数に一致することを示しています。あとは真数条件x>3且つx>a/2を考慮しつつグラフを考えていけばいいのです。 (i)a/x<=3つまりa<=6の時、真数条件はx>3 このxの範囲で、y=f(x)のグラフはy=a のグラフと1つの交点を持つ。 (ii)6<a<7の時、真数条件はx>a/2 a-f(a/2)=1/4(5a^2-16a+36)>0 つまり、 a>f(a/2)であるから、このxの範囲で、y=f(x)のグラフはy=a のグラフと2つの交点を持つ(分かりにくければ図をかいてください。要はa/2<c<4且つf(c)=aなるcが存在するってことです)。 (iii)a=7の時、真数条件はx>3.5 また、解はx=4 よって解は1つ (iv)7<aの時、このxの範囲で、y=f(x)のグラフはy=a のグラフと交点を持たない。 以上より、 a<=6の時、解は1個 6<a<7の時、解は2個 a=7の時、解は1個 7<aの時、解は0個
- noname#201445
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