因数分解の難しさと積分の難しさには共通点がある？

質問

高校で因数分解をさせられた時、答えを聞けば当然だとわかっても試行錯誤をやるほかなく、運が良ければ正解に到達できることから、何のためにこのようなことをやるのかわかりませんでした。積分にも同じようなことを感じますが、これには何か根拠があるのでしょうか。試行錯誤といってもいくつかのパターンを会得して、それに勘を働かせるような、いわば合理的な試行錯誤とでも言うべきことを因数分解の場合にも会得しておくべきだったのかとも思います。もう少し数学を勉強をしてみたいのでご教示をお願いいたします。

回答No.7

noname#221368 · ベストアンサー

#3です。まず老婆心です。

　2次方程式の解の公式は確かに重要です。理工関係の仕事に就くなら必須アイテムです。解の公式は3次，4次方程式にもありますが、全く実用的ではありません。5次以上には、一般的な解の公式はありません。

　なので高次方程式を解く破目になったら頑張って自明な解を1個か2個みつけ、それらで因数分解して2次方程式に帰着させ、2次の解の公式で残りを片づけるという事は良くやります。

　本題です。ジグゾーパズル，合理的試行錯誤というよりも、ふつうは出来る事しかやってない、というのが実情なんですよ。例えば「変数分離形の微分方程式」を考察してみますか。「変数分離形の微分方程式」は「合成関数の微分公式」が基になっています。それが添付図(1)です。(1)でF(y)のyはもちろん関数y(x)であり、y'＝dy/dxです。(1)をxでそのまま積分したものが(2)です。

　ここで(2)の意味を明確にするためにdF/dy＝f(y)とおきます。うるさい事さえ言わなければyの関数F(y)は何でもありです。だったらdF/dyだって何でもありで、それをyの任意関数f(y)に等置したってかまわないはずです。その形が(3)ですが、(3)の左辺がf(y)のyでの積分になるのは、dF/dy＝f(y)から明らかと思います。(3)は、「合成関数の積分公式」と言えるものです（いま逆索引をつくりました）。

　問題は(3)が、何に使えるか？です。色んな見方は出来ますが、次のような見方は可能です。

　　・添付図(3)の関係は、yとy'を含んだ式g(y，y')＝f(y)・y'から、y'を消去するために使える．(a)

という見方です。そこで微分方程式y'＝yを考えてみます。y'＝yを添付図(3)の関係に合わせるために、両辺をyで割ります。添付図(4)です。(4)の左辺は、確かに(3)右辺の積分の中身の形をしています。並べてみましょう（添付図(5)）。(5)からは、f(y)＝1/yで同じになるのがわかります。並べてみましょう（添付図(6)）。

　(6)で未知数の数を勘定します。不明なのは、f(y)のfと、yとy'の3つです。しかし(6)で条件数は3つあります。連立方程式の一般論から、未知数と条件数が同じであれば、必ず何らかの解は求まるんですよ！。

　やってみます。(6)の一段目を残りに「代入」します。(7)になります。(7)の2段目を一段目に代入します。(8)になります。(8)まで来たら、もう迷う事はないはずです。初等関数の辞書を使って、(9)になります（Aは積分定数）。

　けっきょくlogを移項して形を整理すると、(10)です。(10)ではB＝exp(A)としています。

　ところで(1)～(10)において、何か特別な事をやったでしょうか？。必要な関係式をかき集めて来て、その後は代入を繰り返しただけです。それで答えが出ました。3元連立1次方程式を解くより簡単でした。

　もし特別な事をやったとすれば、(a)により、「合成関数の積分公式」は何に使えるのか？と、「問うた」事でした。これが「目的意識を持って、一手先を読もうとする」態度です。そういう問題意識で調べてみると、けっこう皆さん「やれる事しかやってない」のですよ・・・(^^；)。

　ここで因数分解に戻ります。2次方程式は必ず(x－a)(ｘ－b)＝0の形に因数分解できます（数学らしい発想）。(x－a)(ｘ－b)を展開すれば、

　　・(x－a)(ｘ－b)＝x^2－(a＋b)x＋ab　　　(b)

になります。問題は関係(b)が、何に使えるか？です。もしa，bが整数なら、(a＋b)もabも整数です。だとすれば、整数係数の2次方程式は、整数の解を持つ可能性が十分にあります。そこから出てくる「たすき掛け」の発想は、ほぼ必然ですよね？。

　「たすき掛けの発想」がほぼ必然になったのは、「関係(b)は何に使えるか？」と「問うた」事にあります。そして解が整数であれば、高次方程式においても同様の事情が成り立ちます。だから因数分解は無視できないんです。

　「関係**は何に使えるか？」と「目的意識を持って問う態度」は、数学において重要です。それが一歩先を読む力につながると思います。

お礼

私なりに必死にご教示の意味を理解しようとしてみました。一つは道具をどのように使うかということかと思いました。あるいは新しい道具を見たとき、この道具でどんなことができるのかというような感じです。もう一つはできることしかやっていないということです。数学の研究者でないのだから新しい公式を見出すことは目的にしていませんので、既存の公式をどのように使えるかということと考えてみました。今までと少し違う気持で勉強が出来そうに思いました。できないことをやろうとあせらないで、できることを丁寧にやるというのは自戒の意味で座右の銘にしていることにもつながり、大変ありがたいことと思います。

回答No.8

Knotopolog

＞高校で因数分解をさせられた時、・・・・・・・
＞積分にも同じようなことを感じますが、・・・・・・・
＞これには何か根拠があるのでしょうか。

質問者さんの感じておられる「根拠」こそ，数学の本質であると私は思います．

因数分解も積分も，今現在は解を得る計算方法が完全には分かっていません．そのために試行錯誤が必要となるのです．遠い将来，たとえば，因数分解を得る方法が完全に，かつ，一般的に解かれる時代が来るかも知れません．現時点では，因数分解も積分も試行錯誤ですが・・・．

＞試行錯誤といってもいくつかのパターンを会得して、
＞それに勘を働かせるような、

たとえば，解かれていない新しい微分方程式を求積法で解きたい時も，勘を働かせながら試行錯誤をし，既存パターンを思い浮かべたり，蓄積された現存の知識をフルに用いて解こうとします．この，解こうとして悪戦苦闘している姿こそが数学そのものなのです．ですから，解こうとして悪戦苦闘するパズルも数学なのです．また，逆に，新しい数学に挑戦するのはパズルを解こうとする行為と同じです．つまり，数学はパズルなのです．

＞もう少し数学を勉強をしてみたいのでご教示をお願いいたします。

２次方程式のように，公式で解ける数学は，完成された数学ですが，解けないとも知らず，５次方程式を四則演算で解こうと悪戦苦闘していた時代もありました．４次方程式にしても，解こうとして，勘を働かせながら試行錯誤をしていた時代があります．

何事にしてもそうですが，いったん解かれてしまえば，「な～んだ！　そうだったのか！」で終わりです．解かれる前の試行錯誤をしている過程が数学の醍醐味です．

今，この瞬間にも，未解決問題を解こうと，悪戦苦闘している数学者，数学愛好家，一般人が世界中に山のように居ます．私もその一人です．未解決問題を解こうとはしていますが，解けません！！

＞因数分解の難しさと積分の難しさには共通点がある？

共通点を敢えて言えば，因数分解にも積分にも蓄積された解法というものがあります．その解法に慣れる，しかありません．いまのところは・・・．

それから，数学を理解する一番いい方法は，自分で問題を造って解いてみる事です．

長々と好き勝手に書きましたが，ご参考にはならなかったでしょうか？

どうぞ，頑張って下さい．

お礼

私はモノづくりの小工作を趣味としておりますが、御教示に似た経験を何度かしております。何か数学的課題で納得がいくような理解に出会う経験をしたいと思っております。大変貴重なご助言を頂いて心から感謝いたします。

回答No.6

ORUKA1951

No.1です。
お礼
＞私は因数分解を下らないとは思っていないのですが、
　解の公式さえあれば、因数分解できない二次方程式( x² + 2 )を因数分解できる。万能選手ですよ。
　算数で旅人算とか鶴亀算・・経験とひらめきと熟練があればたいていの問題は解ける。しかし方程式だと経験もひらめきもほとんど必要ない。機械的に解けばよい。
　確かにテスト問題を解くということだけを考えれば、因数分解できれば---それで解ける限りにおいては---らくだと言うだけ

補足
＞まずは解の公式をうまく使えることをこころがけるということでしょうか。
　うまくもなにも、当てはめるだけだから
＞微分方程式はいろいろな現象の理解に使われるものだと理解していますが、
　因数分解と微分は直接は関係ない。
　微分は式の形を推測するとき(下記)

＞初めは解の公式をつかって正解を得るということを体験することが大切ということかと思いました。
　パズルに過ぎない限られた方程式にしか使えない、組み合わせを見つけ難い方程式の因数分解に手間取るなら、さっさと解の公式で因数分解してしまえばよい。いずれそれしか方法のないものばかりになるのですから。時間は無限にあるわけじゃない。

　例えばある式が立式できたとします。 (例) y = x² + 4x + 10
　微分して、y' = 2x + 4　y'=0とすると、x = -1/2 が編曲点で、x=-1/2のとき最小値を取る下に凸な放物線だと分かる。
　平方完成すると y - 6 = (x - 2)² となるので、y = x²のグラフをx軸方向に-2 y軸方向に6移動したものだとわかる。
　この-2や6が未知数のときが微分方程式・・

　微分にも平方完成にも因数分解は不要ですけど・・

お礼

もう少し考えてみます。ご教示ありがとうご座います。

回答No.5

sanzero

こんにちは。

因数分解も積分も共通するところがあると思います。

それは、小学生のころやった算数ドリルと同じく、繰り返し量を解くことが有用だという点です。

今、九九が身についているおかげで15 = 3 × 5と瞬時に分解できるように、因数分解も積分も繰り返し練習すれば見た瞬間道筋が見えるようになるものですよ。
(もちろん、因数分解、積分できないものもあります。)

お礼

そうなのですね。ご教示ありがとうございます。

回答No.4

mnakauye

こんにちは。

　因数分解は決して難しいことではありません。

　因数分解ができるかどうかは、試行錯誤をすれば必ず見つかります。

　これに対して、積分は試行錯誤をすれば必ず見つかるとは言えません。

あなたの場合、試行錯誤というのが、

「公式を見て当てはめる。」ということのようですが、

　役に立つ試行錯誤は、「概念の自分なりのイメージ」を作るためのもので無ければなりません。

　　そもそも因数分解とは、数の場合であれ、式の場合であれ、積の形にすることですね。

　「積の形にする」ということは、基本的にはまず2つの数または式の形にすることですから

　約数が辺になる正方形または長方形の形を作るということです。

　　数の場合だとすぐわかりますよね。たとえば６個の10円玉をいろいろと

　　長方形（正方形）の形を作ってみると　すぐに　長方形（正方形）にできることがわかります。

　　9個の10円玉だと、１ｘ９以外にはできないこともすぐわかります。

　　これは大きな数になっても、できるできないがはっきりわかります。

　こういう実際に目に見えるかたちでやってみるのが試行錯誤です。

　実は文字式の因数分解も同じことです。

　このことは、あまり数学の授業では教えてもらえないし、

　教えてくれる先生自身がわかっていない可能性もありますが

　それはともかくとして・・・・・・・・・。

　　ｘ＾２＋２ｘ　を考えて見ましょう。　一辺がｘの正方形を（ア）とします。

　　（ア）の面積はｘ＾２ですね。

　　一辺がｘ、他辺が１の長方形を（イ）とします。　この面積はｘですね。

　　そこでｘ＾２＋２ｘは、（ア）の正方形１つと（イ）の長方形２つの面積をあらわします

　　だからｘ＾２＋２ｘの因数分解は、この３つの図形を並べ替えて、長方形（正方形）にできる

　　かどうかです。

　　　並べていれば、すぐにｘ（ｘ＋２）の長方形ができることがわかります。

　　因数分解のところに出てくる問題・・・多項式の因数分解は、基本になるのが2次式と3次式、

　　およびその積の組み合わせですから、2次式のいろいろの場合をこの方式で試行錯誤すれば、

　　因数分解の公式に行き当たる以上に、面白いことがたくさんわかりますよ。

　　たとえば、先にあげた　ｘ＾２＋２ｘ　にプラスして定数がある場合　

　　それがどんな数だと因数分解できる式が作れるでしょう。

　　先の図形をいろいろと試行錯誤していると、１だけではなく無数にあることがわかります。

　　このことが書かれている本を私は見たことがありませんが

　　　たとえば　問題集の最初の方に登場する　ｘ＾２＋２ｘ－３　の　－３

　どうやったら見つかりますか。

　ここにあげた図を参考にいろいろとやってみてください。

　そんな簡単な因数分解ではない・・・・という声が聞こえそうですが

　２ｘ＾２ー３ｘ＋２でも、さらに２変数の因数分解になっても同じことです。

　まず図形を作って試行錯誤してイメージができれば、公式なんてその時点で覚えてしまっています。

　因数分解は決して難しいことではありません。

　公式を文字だけでごちゃごちゃやっているというやり方が間違っているのです。

　　これはほかの分野でもいえますが。

お礼

ご教示を参考に勉強してみます。図形に持っていくということは考えもしませんでしたので大変ありがたいことと思います。

回答No.3

noname#221368

やってる事は全然違いますが、共通点はあると思います。

　積分は、既知の初等関数（多項式関数や三角関数など）の微分のやり方がわかってるから、積分できます。初等関数の微分公式は辞書のようなもので、ふつうの積分計算は、それらと一般的な微分公式（定数陪，和，積，商，合成関数の微分公式）を組み合わせて、辞書の逆引き（逆索引をつくる）をやってるようなものです。なので、微分公式の逆を使って結果が求まる形，求まる形と一手先を想像して変形を進めていきます。

　因数分解は、例えば「もしかしたら整数範囲で解けるのでは？」と一手先を想像し、そのための条件に沿ってたすき掛けなどを行う訳です。

　数学的にやってる事は全然違いますが、人間工学的（？）には同じ面がある気がします(^^；)。

お礼

御教示によりかなり安心いたしました。私にとってどんな公式でも数学の公式を自分の力で導き出すことは不可能ですから公式はブラックボックスです。連想がジグソーパズルの面倒くささにまで至りました。因数分解や微分方程式を解くことが好きな人はジグソーパズルは面倒くさくないのだったらさらに安心できるような気がします。お礼のつもりが下らない感想になってしまいました。

回答No.2

trytobe

より簡単な関数どうしの掛け算に因数分解で分離することで、

個々の関数への演算（微分・積分など）が簡単に処理できるようになって、最後にまとめなおせばよい、

ということが起きているから、共通性のようなものをお感じになったのではありませんか。

回答No.1

ORUKA1951

因数分解なんて、本当に何のためにするのでしょう。数学嫌いを増やす以上の効果はない。
そもそも、科学の現場できちんと整数で因数分解できる式なんてまずありえない。
単純に解の公式を使えばすむ事です。
x = (-b±√(b²-4ac))/2a

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#.E8.A7.A3.E3.81.AE.E5.85.AC.E5.BC.8F

お礼

そういうものですか。私は因数分解を下らないとは思っていないのですが、確かに数学が苦手と思う原因の一つになっているとは思います。

補足

まずは解の公式をうまく使えることをこころがけるということでしょうか。微分方程式はいろいろな現象の理解に使われるものだと理解していますが、初めは解の公式をつかって正解を得るということを体験することが大切ということかと思いました。