高校数学の面積の最小問題 3-16
- 高校数学の面積の最小問題について説明します。△ABCの重心Gを通る直線lで2つの部分に分けるとき、小さい方の面積が最小になる条件とは何でしょうか。
- Gが重心だからAD=EG=c/3、AE=DG=b/3となります。それにより△APQが小さい方の図形となり、その面積が最小になるのはlが辺BCと平行な場合です。
- この問題では、重心を通る直線で△ABCを分けた場合、面積が最小となる条件を求めています。重心が持つ特性を利用して計算を行い、最小の面積が得られる条件を示しています。
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高校数学の面積の最小問題です 3-16
△ABCの重心Gを通り辺BCと交わらない直線lで2つの部分に分けるとき、小さい方の面積が最小になるのはどのような場合か 解説は図のように各点と長さを定める(AB//EG,AC//DG)このとき、Gが重心だからAD=EG=c/3 AE=DG=b/3 AP//EGにより AP:EG=AQ:EQよってcx:c/3=by:(by-b/3)整理して 1/x+1/y=3(1) ここで△APQ/△ABC=xyであるから xyについて考えると(1)により1/xy=1/x×(3-1/x)=-(1/x-3/2)^2+9/4 1/x>1,1/y=3-1/x>1により1<1/x<2であるから 2<1/xy<=9/4 よって1/2>xy>=4/9 ただし等号はx=y=2/3のときに成り立つ よって△ABCがlで分けられて出来る2つの図形のうち小さい 方は△APQで、その面積が最小になるのはl//BCの場合である とあるのですがGが重心だからAD=EG=c/3、AE=DG=b/3 の所ですがc/3やb/3 何でそうなるのですか？ それと△ABCがlで分けられて出来る2つの図形のうち小さい 方は△APQで、その面積が最小になるのはl//BCの所ですが△APQが小さい方になるというのが分からないです、□PBCQの方が小さいかもしれないじゃないですか、それとl//BCになるのも分からないです
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適宜 #1 の記号を使います. 「△ABCがlで分けられて出来る2つの図形のうち小さい方は△APQ」については l が 直線 BH のときとそうでないときとの比較をするのが簡単かな. 「その面積が最小になるのはl//BC」は内分比から △APQ と △ABC の関係が分かれば一瞬.
その他の回答 (1)
とり急ぎ分かったところまで。 ＞Gが重心だからAD=EG=c/3、AE=DG=b/3 の所ですがc/3やb/3 何でそうなるのですか？ 頂点BからGを通る中線と、ACとの交点をHとします。すると、△BGDと△BHAは相似三角形になっているということが分かると思います。以後この2つの三角形だけを見ます（別に図を描いてもらった方が分かりやすいかもしれない。） BG：GH＝2：1なので、BG：GH＝2：3となります。相似三角形なので、BD：BA＝2：3といえ、BD：DA＝2：1と言えます。ですから、DA＝1/3AB＝1/3cとなります。
お礼
御返答有難うございます
補足
>BG：GH＝2：3 BG:BHじゃないですか？ 他の所も分かりました、是非宜しくお願いします
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