解法を

質問

an=1/n(n+1)(n+2)(n=1,2,3…)について次の問いに答えよ。
(1)すべての自然数ｎに対して1/n(n+1)(n+2)=A/n(n+1)+B/(n+1)(n+2)を満たす定数A,Bを求めよ。
(2)第ｎ項までの和Sn=Σ(n・k=1)akを求めよ。ただし、ｎは自然数とする。
(3)無限級数Σ(∞・k＝1)の和を求めよ。

答えは
(1)A=1/2 B=-1/2
(2)1/4-1/2(n+1)(n+2)
(3)1/4

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

(1)すべての自然数ｎに対して1/n(n+1)(n+2)=A/n(n+1)+B/(n+1)(n+2)を満たす定数A,Bを求めよ。
＞1/{n(n+1)(n+2)}=A/{n(n+1)}+B/{(n+1)(n+2)}
両辺に{n(n+1)(n+2)}をかけて
1=A(n+2)+Bn
An+Bn+2A-1=0これがすべての自然数nで成り立つには
2A-1=0→A=1/2
(A+B)n=0→A+B=0→B=-1/2
(A,B)=(1/2,-1/2)・・・答
(2)第ｎ項までの和Sn=Σ(n・k=1)akを求めよ。ただし、ｎは自然数とする。
＞ak=1/{k(k+1)(k+2)}=A/{k(k+1)}+B/{(k+1)(k+2)}
=(1/2)[1/{k(k+1)}-1/{(k+1)(k+2)}]だから
Sn=Σ(k=1→n)ak=(1/2)Σ(k=1→n)[1/{k(k+1)}-1/{(k+1)(k+2)}]
=(1/2)*{1/2-1/6+1/6-1/12+1/12-1/20+・・・・・+1/{n(n+1)}-1/{(n+1)(n+2)}
=(1/2)*{1/2-1/{(n+1)(n+2)}=n(n+3)/{4(n+1)(n+2)}・・・答
(3)無限級数Σ(∞・k＝1)の和を求めよ。
Σ(k=1→∞)ak=lim(n→∞)Sn=lim(n→∞)n(n+3)/{4(n+1)(n+2)}
=lim(n→∞)(1+3/n)/{4(1+1/n)(1+2/n)}=1/4・・・答

お礼

ありがとうございます。助かりました。

回答No.1

gohtraw

（１）
1/n(n+1)(n+2)=A/n(n+1)+B/(n+1)(n+2)　の右辺を通分するとその分子は
（ｎ＋２）A＋ｎＢ＝ｎ（Ａ＋Ｂ）＋２Ａ
これが全てのｎについて１に等しければいいので
Ａ＋Ｂ＝０
２Ａ＝１
よって
Ａ＝１／２、Ｂ＝－１／２

（２）
（１）の結果を用いると
ａ１＝１／４－１／６
ａ２＝１／６－１／２４
ａ３＝１／２４－１／４０
以下同様
ａｎ＝１／２ｎ（ｎ＋１）－１／２（ｎ＋１）（ｎ＋２）
これらを全て足し合わせると
ａ１＋ａ２＋ａ３＋・・・・ａｎ＝１／４－１／２（ｎ＋１）（ｎ＋２）

（３）
ｎ→∞　のとき１／２（ｎ＋１）（ｎ＋２）→０なので、
求める和は１／４

お礼

回答ありがとうございます。