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複素積分の複素フーリエ係数c_nの計算方法
transcendentalの回答
- transcendental
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被積分関数の極における留数を計算してみます。 I＝（－２/i）∫[0 to 2pi]ｆ（ｚ）ｄｚ、ｆ（ｚ）＝cos（ｎπ）/｛ｚ＾ｎ・（ｚ＾２－４ｚ＋１）｝ とすると、ｆ（ｚ）の極のうち単位円の内部にあるものはｚ＝０、ｚ＝２－√３（＝α、２＋√３＝βとおく）。 ｎ：oddの場合を考えます。すなわち、ｆ（ｚ）＝１/｛ｚ＾ｎ・（ｚ＾２－４ｚ＋１）｝。 Res（ｆ、α）＝１/｛（αーβ）・α＾ｎ｝、 次に Res（ｆ、０）を計算するため（Laurent展開によります）、ｆ（ｚ）＝｛－１/（αーβ）｝・（１/ｚ＾ｎ｝｛１/（αーｚ）－１/（βーｚ）｝とし、１/（ｃ－ｚ）＝（１/ｃ）∑[k=0 to ∞]（ｚ/ｃ）＾ｋ、（｜ｚ｜＜｜ｃ｜）を利用すると、 Res（ｆ、０）＝｛１/（２√３）｝・｛１/α＾ｎ－１/β＾ｎ｝ となりました。 ｎ：even時も同様です。
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お礼
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