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複素解析の問題です。
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- Tacosan
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(2) は (1) の後にある小問だね. あと, 帰納法でも使ってみる?
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_ C(複素数全体の閉方)で正則な関数は定数に限るらしいのですがこの証明はどうすればいいのでしょうか、非定数関数を考えて背理法でしょうか C:|z|<∽なら正則でも定数にはならないのですが、、、 お願いします
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1) n回微分は等しいので n!a_n=n!b_n よってa_n=b_n 同様に n-1回微分は等しいので (n-1)!a_n-1+n!a_n=(n-1)!b_n-1+n!b_n a_n=b_nより a_n-1=b_n-1 これらをn-2回微分、n-3回微分..とやっていくと a_n=b_n (n=0,1,2,...) 2) f(z)=-f(-z)から 2(a_0+a_2z^2+a_4z^4+...)=0 zの恒等式とみなすとa_2k=0 (k=0,1,2,..) 3) a_2k+1=-1/(2k+1)! 1)~3)はこれで合っていますか? あと4)の答えを教えてください。
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C = {z∈C | |z| = 1} とします。 一次変換 w = (z+1)/(z-2) について、次の問いに答えてください。 (1)この一次変換の不動点を求めてください。 (2)一次変換wによるCの像Γを求めてください。 (3)α = (1+i)/2 の円Cに関する鏡像α'を求めてください。 (4)一次変換wによるα、α'の像をω、ω'とするときωとω'がΓに関して鏡像な2点になることを示してください。 (1)は z = (z+1)/(z-2) を解いて、 z = (3±√13)/2 を導きだして、これが不動点かな?! と思っているのですが・・・あってますか?; (3)は円Cの中心を z_0 = 0 として、半径を r = 1 として、 (α' - z_0)(α^- - z_0^-) = r^2 に代入して、 (α' - 0)((1-i)/2 - 0) = 1 となって、 α' = 1+i を導きだして、これが答えかな?! と思っているですが・・あってますか?; (2)、(4)に関しては全くわかりません・・・・。 良かったら回答お願いしますm(__)m
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以前にも質問させていただいている問題なのですが、 質問文がわかりにくいとのご指摘を頂いたので、 質問文をわかりやすく書き直して再度質問させて頂いてますm(__)m C = {z∈C | |z| = 1} とします。 一次変換 w = (z+1)/(z-2) について、次の問いに答えてください。 (1)一次変換wによるCの像Γを求めてください。 (2)α = (1+i)/2 の円Cに関する鏡像α'を求めてください。 (3)一次変換wによるα、α'の像をω、ω'とするときωとω'がΓに関して鏡像な2点になることを示してください。 この問題なのですが、 (1)はΓ={w∈Γ| |w+1|=1}が答えだと教えていただきました。 (3)は円Cの中心を z_0 = 0 として、半径を r = 1 として、 (α' - z_0)(α~ - z_0^-) = r^2 に代入して、 (α' - 0)((1-i)/2 - 0) = 1 となって、 α' = 1+i で合っていますか?と尋ねたところ、合っていると教えていただきました。 (α~は供役複素数という意味です) (3)『一次分数変換の式と、上で使った「鏡像」の表現式とを使って、 (ω' - Γの中心)・((ω - Γの中心)の共役) = 実数 を示せばよいでしょう。』 と教えていただきました。 なので(1)からΓが中心-1、半径1の円だということがわかったので (ω' + 1)(ω~ - 1)=実数 というように、頂いた回答の式にあてはめてみました。 実数ということを示せばいいから、 (ω' + 1)(ω~ - 1)を計算した値の、 iの前の係数が0になればいいのかな?と思い、 ω=(α+1)/(α-2) ω'=(α'+1)/(α'-2) とし、 ω~=(α~+1)/(α~-2) を代入してまとめてから、 α=a+bi 、α'=c+di を代入してまとめて、 iの前の係数=0 というように考えてみたのですが、 うまくいきませんでした。 良かったらどのように実数になるというこを導きだせばいいのか教えていただけませんか? (3)についてなんですが、友達が「(3)って(2)のαとα’を使うのかな?」と言ってたのですが、私は「(3)はどのα、α’に対しても」という意味だと思っているのですが、友達が正しいのでしょうか? 良かったら回答お願いしますm(__)m
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