この問題が解けません、どなたか解いてください。

質問

電磁気学の問題なのですが、解けずにいて困ってます。
内容は、
長さ2Lの棒に電荷密度λで一様に電荷が分布している。棒の中心を原点とし、y軸の方向に電荷分布をとるものとする。
電荷の分布を微小区間Δsに分割する。原点からsだけ離れた微小区間Δsによる点P(x,y)での電場ΔEの大きさを求める、というものです。
この問題を、クーロンの法則を用いて解いて頂たいです。
できるだけ詳しく解いて頂けると嬉しいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

SKJAXN · ベストアンサー

要は、x-y平面において、棒は(0,－L)から(0, L)までに存在して、棒上の位置(0, s)における微小区間Δsが、点P(x, y)に形成する電場の大きさΔEを求めるということになりますでしょうか？
そうしますと、微小区間Δsの持つ電荷Δqは電荷密度が一様であるため、
Δq＝λ*Δs
であり、(0, s)から点Pまでの距離rは、r＝√(x^2＋(y－s)^2)ですから、誘電率をεとおいてクーロンの法則を用いると、点Pに形成する電場の大きさΔEは
ΔE＝1/(4*π*ε)*Δq/r^2＝λ*Δs/(4*π*ε*(x^2＋(y－s)^2))　・・・〔答え〕
というだけのことだと存じます。
ちなみにΔEの向きは、x軸よりφ（sinφ＝(y－s)/r、cosφ＝x/r）だけ傾いた方向です。

蛇足ですが、棒全体が点P(x, y)に形成する電場の大きさEを求めるためには、ΔEのx軸方向の成分ΔEx（＝ΔE*x/r）とΔEのy軸方向の成分ΔEy（＝ΔE*(y－s)/r）を、それぞれs＝－LからLまで積分すれば求めることができます。積分計算のため、Δをさらなる微小成分dとして表現しますと、
dEx＝1/(4*π*ε)*dq/r^2*x/r＝x*λ/(4*π*ε*r^3)*ds
dEy＝1/(4*π*ε)*dq/r^2*(y－s)/r＝(y－s)*λ/(4*π*ε*r^3)*ds
これらを実際に積分すると、途中計算は本筋ではないので割愛しますが、点P(x, y)での電場のx成分は、
Ex＝∫[－L, L]dEx＝λ/(4*π*ε*x)*((y＋L)/√(x^2＋(y＋L)^2)－(y－L)/√(x^2＋(y－L)^2))
点P(x, y)での電場のy成分は、
Ey＝∫[－L, L]dEy＝λ/(4*π*ε)*(1/(√(x^2＋(y－L)^2)－1/√(x^2＋(y＋L)^2)))
と求まります。

お礼

回答していただきありがとうございます。
電磁気学はどうしても苦手で・・・

お役にたちました。
ありがとうございます。

回答No.1

NemurinekoNya

電場Eの(0,y）のｙ成分をEy、ｓ成分をEsとします。
すると、
　ΔEy = λΔs/(4πε)・1/(y^2+s^2)・y/√(y^2+s^2)

これをs=-∞から∞で積分をすればよい。

　Ey = λ/(4πε)・∫[-∞,∞]ｙ/(y^2+s^2)^(3/2)ds　　　　（１）
という積分をすればいい。

　s = ytanθと置き、置換積分をする。
　s = -∞　→　θ = -π/2
　s = ∞　→　θ = π/2
　ｄｓ/ｄθ = sec^2θ　→　ｄｓ = sec^2θdθ

すると
　（１） = λ/(4πεｙ)∫[-π/2,π/2](sec^2θ/sec^3θ)dθ
　= λ/(4πεｙ)∫[-π/2,π/2]cosθdθ
　= λ/(2πεｙ)

ガウスの法則を用いた場合と同じ結果になる。

∫[a,b]は積分区間[a,b]の定積分くらいの意味です。

Esは、原点について対称なので、０です。

（0,y)での電場だよね。
任意の点での電場だと、とんでもなく複雑な積分を計算しなくてはならなくなる。

お礼

回答していただきありがとうございます。
求め方がいろいろあったりするみたいでなかなか電磁気学は理解がおいつかずいます（笑）

ありがとうございました。