高校数学のベクトルのパラメータ表示と曲線の特性
- 高校数学のベクトルのパラメータ表示の問題について解説します。
- 質問の内容は、原点をOとし平面上の2点A(0,1),B(0,2)をとり、OBを直径とする半円Tに糸を巻きつけられたPが描く曲線の性質を求めるものです。
- 具体的な解法について詳しく説明します。
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高校数学のベクトルのパラメータ表示の問題です
原点をOとし平面上の2点A(0,1),B(0,2)をとる OBを直径とし点(1,1)を通る半円をTとする 長さπの糸が一端をOに固定してTに巻きつけてある この糸の他端Pを引き、それがx軸に到達するまで、ゆるむことなくほどいてゆく 糸と半円との接点をQとし ∠BAQの大きさをtとする (1)ベクトル↑OPをtを用いて表せ (2)Pが描く曲線とx軸およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ (3)Pが描く曲線の誇長を求めよ ↑OP=↑OA+↑AQ+↑QP =(0,1)+{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)} とあったのですが↑OAが(0,1)は分かるのですが、↑AQ+↑QP が{cos(π/2-t),sin(π/2-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)}となるのが 分かりません、多分↑AQが{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}になると思うのですが、角度がπ/2-tになるのが分かりません ↑QP の角度π-tも分からないので、よろしくです
- arutemawepon
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#21補足について。 そういうことです。 図では鈍角みたいになってますが そうとは限らないことに注意。
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#10の補足について。 直交しているので （ベクトルQPの偏角）＝（ベクトルAQの偏角）＋π/2 ですよ。偏角の基本性質。
お礼
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補足
うーん、x軸平行な直線とPQとで挟まれた角が偏角ですよね、AQのAをQまで移動させて考えるということですか？↑AQの偏角と別の気がするのですが、分からないです
＞何で偏角が ＞（π/2）-t+（π/2）になるんですか？ QPとAQが直交しているからです。
お礼
御返答有難うございます
補足
>QPとAQが直交しているからです。 直行しているのは分かるのですが↑QPの偏角を求めるとき関係あるのですか?
- gohtraw
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＞それは分かりますが、その角がわかったら何で↑AQの偏角が出せるんですか∠QAOはy軸とAQのなす角ですよ？x軸から図＞った角が偏角じゃないんですか？ 偏角という言葉をどういう意味でお使いなのかよく判りませんが、一端忘れて 下さい。図を見ると、ベクトルAQのｘ成分は、Qからｙ軸におろした垂線の長さ でしょ？これはAQの長さと、ｓｉｎ∠ＱＡＯ、つまりｓｉｎ（πーｔ）の積で求めること ができますよね？そしてＡＱの長さは１なのだから、結局ベクトルＡＱのｘ成分は ｓｉｎ（πーｔ）になるでしょ？
お礼
御返答有難うございます
補足
>ベクトルAQのｘ成分は、Qからｙ軸におろした垂線の長さ y軸に下ろしているのにx成分になるんですか?
- gohtraw
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回答No.2への補足に対して ＞↑AQのx成分の角度はsin（πーｔ）はどこから出てきたのですか？ ＞同じく－ｃｏｓ（πーｔ）がどこから出てきたのか分からないです 図をよく見ましょう。∠QAO＝π－ｔ でしょ。 回答Ｎｏ．４への補足に対して ＞↑QPを表す時Qのx座標とかは考えずに(QPの長さ)×(点Qから ＞引いたx軸平行な直線からPまでの角度)でいいんですか？ まず、「x軸平行な直線からPまでの角度」という表現は意味不明 です。「x軸平行な直線とＰＱのなす角度」という具合に、二つの直線 を指定して、「その間の角度」という言い方にしないとどこの角のこと か判りません。 この場合、ＰＱの長さと、上記の「なす角度」が判ればベクトルＰＱ の成分を記述することができますよね？そういう意味では点Ｑの 座標は不要です。 「Ｑを原点に持って行ったとき」という風に考えるのは、それ自体 間違ってはいません。ただこれをやると、「ではＱの座標は？」と いう話になってくる。そうではなくて、ＰとＱを比べた時にこれらの 座標にはどれだけの差があるかを図で考えるようにしたほうが いいと思います。ベクトルって、「座標の差」に他ならないので。 ＰＱの長さは回答Ｎｏ．４で述べたようにｔです。そして上記の 「なす角度」がπーｔなのだから、ベクトルＰＱの成分は ｘ成分： ｔ＊ｃｏｓ（πーｔ） ｙ成分： ｔ＊ｓｉｎ（πーｔ）
お礼
御返答有難うございます
補足
>∠QAO＝π－ｔ でしょ。 それは分かりますが、その角がわかったら何で↑AQの偏角が出せるんですか∠QAOはy軸とAQのなす角ですよ？x軸から図った角が偏角じゃないんですか？
#5#6ですがミイラ取りがミイラになって しまって申し訳ない。下記へ差し替えて ください。 ベクトルAQを平行移動してAが原点 に一致するようにする ↓ するとその平行移動したベクトルは x軸との角度が（π/2）-tになります。 ベクトルQPを平行移動してQが原点 に一致するようにする ↓ すると平行移動したベクトルは x軸との角度が （π/2）-t+（π/2）=π-tになります。
お礼
御返答有難うございます
補足
>x軸との角度が（π/2）-tになります。 分かりました >すると平行移動したベクトルは x軸との角度が（π/2）-t+（π/2）=π-tになります。 これは分かりませんQを原点に持ってきたとき何で偏角が （π/2）-t+（π/2）になるんですか？
＞ではθとtは同じ意味ですか？ 失礼しました。 tのことです。 ＞>=(ベクトルAQの偏角)+(π/2) ＞これはちょっと分からないです、 ＞Qを原点に持って行ったとき ＞という風な説明でお願いしたいです ベクトルAQを平行移動してAが原点 に一致するようにする ↓ するとその平行移動したベクトルは x軸との角度が-tになります。 ベクトルABを平行移動してAが原点 に一致するようにする ↓ するとその平行移動したベクトルは x軸との角度がπ/2になります。 ＞じゃあ今回Aを原点に移動して↑AQ ＞の偏角は点(1,0)から-tの角度ですよね 違います。どうしてそう思うんでしょう？ ベクトル(0,1)と(1,0)を混同している？ ベクトル(1,0)の終点はx軸の上にあるん ですよ。(π/2)-tでしょ。 あなたが添付した図によると角度tは y軸から始まっているように見えますがね。 あなたにはx軸から始まっているように 見えるんですか？
お礼
御返答有難うございます
＞多分↑AQが{cos(π/2-t),sin(π/t-t)} ＞になると思うのですが 何箇所か間違って書かれているので そこを指摘しておきます。 まず、y座標はsin(π/t-t)ではなくsin((π/2)-t) です。 さらに、全体を中括弧"｛"、"}"で括って あなたは書いていますがその書き方は 間違いです。座標を表す括弧は必ず 丸括弧"（"、"）"を使うようにしてください。 つまり、 (cos((π/2)-t),sin((π/2)-t)) です。 次に、なぜ(π/2)-tなのかについて。 ベクトルABの偏角がπ/2であって ベクトルAQはベクトルABから-θ 偏角がずれているからです。 合わせて(π/2)+(-θ)=(π/2)-t (ベクトルQPの偏角) =(ベクトルAQの偏角)+(π/2) =(π/2)-t+(π/2) =π-t です。 ちなみにベクトルvの偏角というのは ベクトルvを原点に合わせたときの ベクトル(1,0)からvへの角度のことで、 反時計回りがプラス、時計回りがマイナス になります。 ベクトルは平行移動しても偏角は 変わりません。
お礼
御返答有難うございます
補足
>座標を表す括弧は必ず >丸括弧"（"、"）"を使うようにしてください。 分かりました、気をつけます >ベクトルABの偏角がπ/2であって >ベクトルAQはベクトルABから-θ >偏角がずれているからです。 ではθとtは同じ意味ですか？ >(ベクトルQPの偏角) >=(ベクトルAQの偏角)+(π/2) これはちょっと分からないです、Qを原点に持って行ったとき という風な説明でお願いしたいです >ベクトル(1,0)からvへの角度のことで、 じゃあ今回Aを原点に移動して↑AQの偏角は点(1,0)から-tの角度ですよね
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
小出しで済みません。 ベクトルＱＰの部分、動径の長さと角度の積は弧の長さなので、 全体にかかっているｔは弧ＢＱの長さ、すなわちＰＱの長さ。
お礼
御返答有難うございます
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>全体にかかっているｔは弧ＢＱの長さ、すなわちＰＱの長 >さ。 詳しく有難うございます、↑QPを表す時Qのx座標とかは考えずに(QPの長さ)×(点Qから引いたx軸平行な直線からPまでの角度)でいいんですか？ ↑AQはどう表せばいいんですか？AQの長さは1ですが角度はAを原点にもって行ったときx軸からQまでの角度ですか？この場合負になると思いますが、y軸からQまでが角度-tでx軸からQまではπ/2-tになります
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
あ、ベクトルＱＰもか、 ＡＱとＰＱは常に直角をなします。ここで、Ｑを通りｘ軸に平行な 直線を引くと、この直線とＰＱのなす角は角ＱＡＯ、つまり πーｔに等しいことが判ります。
お礼
御返答有難うございます
補足
>πーｔに等しいことが判ります。 分かりましたが、↑AQの方が分かりません
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
図から見て、 ベクトルＡＱのｘ成分： sin（πーｔ）＝ｃｏｓ（π／２－（πーｔ）） ＝ｃｏｓ（ｔ－π／２） ＝ｃｏｓ（π／２－ｔ） 同じくｙ成分： －ｃｏｓ（πーｔ）＝ーｓｉｎ（π／２－（πーｔ）） ＝-sin（ｔ－π／２） ＝ｓｉｎ（π／２－ｔ） ということでは？
お礼
御返答有難うございます
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>ベクトルＡＱのｘ成分 ↑AQのx成分の角度はsin（πーｔ）はどこから出てきたのですか？ >同じくｙ成分 同じく－ｃｏｓ（πーｔ）がどこから出てきたのか分からないです
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お礼
ありがとうございました～
補足
有難うございます、これで、やっとこの問題は理解することが出来ました、長いことどうもありがとうございました～