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正則同相な関数について
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- muturajcp
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#1です。修正します。 複素数平面C上で f:C→C を任意の正則同相写像とする f(z)は正則だから f(z)=Σ_{n=0～∞}(a_n)z^n とz=0でテイラー展開できる 任意の自然数nに対して (n<m)&(a_m≠0)となる自然数mが存在する と仮定する a_n≠0となる項が無数にあるから f(1/z)=Σ_{n=0～∞}(a_n)/z^n とすると z=0はf(1/z)の真性特異点となる Weierstrassの定理から lim_{n→∞}z_n=0 lim_{n→∞}f(1/z_n)=f(0) となるz_nが存在する 逆写像f^{-1}が連続だから ±∞=lim_{n→∞}1/z_n=0 となって矛盾する から ある自然数nが存在して n<mとなる全ての自然数mに対してa_m=0となる fは単射だから f(z)≠定数 a_n≠0となる最大自然数nがあり f(z)=Σ_{k=0～n}(a_k)z^k となる f(0)=a_0=bとすると f(z)-b=Σ_{k=1～n}(a_k)z^k となる r=1+Σ_{k=1～n-1}|a_k|/|a_n| g(z)=(a_n)z^n h(z)=Σ_{k=1～n-1}(a_k)z^k とすると f(z)-b=h(z)+g(z) で |z|=r上で |z|=r>1 1/|z|<1 だから |h(z)|/|g(z)| =|Σ_{k=1～n-2}(a_k)/z^{n-1-k}+a_{n-1}|/|(a_n)z| ≦Σ_{k=1～n-1}|a_k|/(|a_n||r|) <1 |z|=r上では |g(z)|>|h(z)| が成り立つから Roucheの定理から f(z)-b=g(z)+h(z) の|z|≦rでの零点の個数N0(f(z)-b) g(z)=(a_n)z^n の|z|≦rでの零点の個数N0(g) に対して N0(g)=N0(f(z)-b) となる ところが g(z)=(a_n)z^n はz=0でちょうどn個の零点をもつから N0(g)=n だから N0(f(z)-b)=n f(z)-bは単射だから n=N0(f(z)-b)=1 n=1 ↓ f(z)=b+(a_1)z ∴ fは1次式で表される
- muturajcp
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複素数平面C上で f:C→C を任意の正則同相写像とする f(0)=bとする fは単射だから z∈Cで f(z)-b≠定数 だからf(z)はz=0でテイラー展開できるから f(z)-b=g(z)z^n………(1) とかける。 ただしg(z)z^nはテイラー展開のzの1次以上の 0でない項をまとめたもので nは自然数、g(z)は正則でg(0)≠0であり g(0)=aとする。 fは単射だから 任意のzに対してg(z)≠0となる 任意の正実数r>0に対して Cr={z∈C;|z|=r} として tが0から2πまで変化するとき z=re^{it} f(z)-bが原点を回る回数を A(Cr,f(z)-b) とすると偏角の原理から A(Cr,f(z)-b)=n fが単射だから n=A(Cr,f(z)-b)=1………(2) これと(1)から f(z)-b=g(z)z………(3) となる ここでg(z)≠定数………(4) と仮定すると g(z)=a+h(z)z^k………(5) とかける ただしkは自然数、h(z)は正則でh(0)≠0である だから(3)と(5)から f(z)-b=az+h(z)z^{k+1}………(6) となる あるr>0が存在して |z|≦r→h(z)≠0 だから Cr={z∈C;|z|=r} として tが0から2πまで変化するとき z=re^{it} h(z)z^{k+1}が原点を回る回数を A(Cr,h(z)z^{k+1}) とすると偏角の原理から A(Cr,h(z)z^{k+1})=k+1………(7) となる |a|<|h(z)z^k|となるzがあると仮定すると Roucheの定理と(2),(6),(7)から 1=A(Cr,f(z)-b)=A(Cr,h(z)z^{k+1})=k+1 0<k=0となって矛盾するから 任意のz∈Cに対して |a|≧|h(z)z^k| となる |z|=r上で |h(z)|≦|a|/r^k となるから、最大絶対値の原理から |z|≦rにおいても |h(z)|≦|a|/r^k………(8) が成り立つ |z|>rのときは |h(z)|≦|a|/|z|^k<|a|/r^k だからこれと(8)から任意のz∈Cに対して |h(z)|≦|a|/r^k………(9) となって h(z)は有界だから リュービルの定理から h(z)=定数=h(0) だから z=1+|a|/|h(0)| とすると |a|/|h(0)|<z=|z|<|z|^k |a|<|h(0)z^k|=|h(z)z^k| となって(8)に矛盾するから(4)の仮定が否定され g(z)=定数=a となって(3)から f(z)-b=az ↓ f(z)=az+b ∴a=g(0)≠0だから fは1次式で表される
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