正則な複素関数の有界性について
- 正則な複素関数の有界性について疑問があります。
- 複素関数f(z)が開円板内で正則であるとすると、その関数は有界と言えます。
- 正則な関数は連続であり、積分路に沿って一周する積分の値はゼロです。よって、関数f(ζ)は有界です。
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正則だから、有界？
今日は。複素関数を独学中ですが、次の教科書の記載文中で分からない箇所が有りますので教えて下さい。 いま関数f(z)が開円板|z-α|＜ρで正則であるとする。 zをこの開円板の点とし、rを|z-α|＜r＜ρなる任意の正の数、Cを円周|ζ-α|=rを正の方向に進む道とする。この後の記載は少し省略させて頂きまして、次の f(ζ)はC上で正則だから、有界であって、C上でつねに |f(ζ)|＜M となるような正の数Mが存在し、…とあります。 疑問点は、「f(ζ)はC上で正則だから、有界であって」の箇所です。私としては、 f(ζ)はρ内およびC上で連続でCに沿って一周する積分路をとると∫_cf(ζ)dζ=0であるからf(ζ）は有界である。のかと考えてみたのですがすっきりしません。 なぜ正則だと有界といえるのか分かり易く教えていただけたら幸いです。
- torahuzuku
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＞正則である→微分可能→連続→f(ζ)は連続関数→有界閉集合である。の論理で良いのでしょうか？ それで正しいです。 R^nはn次元ユークリッド空間のことを意味していました。
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- ringohatimitu
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ｆはC上連続関数でCは有界閉集合ですから|f|の最大値が有限確定値でそれをMとしていると思われます。ここで使ってる事実はR^nやCにおける有界閉集合上の連続関数は最小値、最大値を持つということです。一般にはコンパクト集合上の連続関数は最小値、最大値を持つという事実です。
補足
今日は。早速のご回答ありがとうございます。 fはC上連続関数でCは有界閉集合ですから、Cにおける有界閉集合上の連続関数は最小値、最大値を持つというご説明なんですが、 私の使っている教科書では、正則の定義として「領域Dのすべての点でf(z)が微分可能のとき、f(z)はDで正則であるという」としか載っていません。 「C上で正則だから」の意味は前の関数f(z)が開円版|z-α|＜ρで正則であるという条件と、Cは円周|ζ-α|=r＜ρの条件より、「f(ζ)はC上で正則である」といえると理解しています。 正則である→微分可能→連続→f(ζ)は連続関数→有界閉集合である。の論理で良いのでしょうか？間違っているでしょうか？それと、長くなって申し訳ないのですが、 ＞「ここで使っている事実はR^nやCにおける有界閉集合上の…。」のR^nは何なのか解らないのですがそれについても教えていただければ嬉しいです。
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お礼
重ね重ね素早いご回答ありがとうございます。 やっと自分なりに納得できる解に辿り着けほっとしています。分かり易く丁寧なご回答感謝しています。 またの質問の節も宜しくお願いします。ありがとうございました。