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2次方程式の実数解の符号
noname#17965の回答
#4です。補足の質問に回答します。 2次方程式の解α、βは 両方とも実数解または両方とも虚数解であり、 片方が実数で片方が虚数になることは無い。 これは証明を後述します。 ここで重要なのはD<0の時αとβの虚数部分は大きさが同じで符号が反対ということです。これを共役複素数の関係といいます。これを応用して、αβ、α+βが実数になることを証明したのが#4です。 証明: 2次方程式の解の公式 x={-b±√(b^2-4ac)}/(2a) ここで簡単のため -b/(2a)=p √(b^2-4ac)/(2a)=q とおくと x=p±q pは常に実数 qは 実数(D≧0のとき) 虚数(D<0のとき) (1)D≧0のとき qは実数になるので解x=p+q、p-qいずれも実数 (2)D<0のとき qは虚数になるのでq=ri (r:実数、r≠0)とおける x=p+ri、p-ri いずれも虚数 以上(1)、(2)より2次方程式の解は全部実数または全部虚数のいずれかであり、片方だけ虚数になることはない。
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