２次方程式の実数解の符号

質問

２次方程式a+x2(←二乗)+bx+c=0の２つの解α,βと判別式Dについて、
α,βは異なる２つの正の解⇔D＞0でα＋β＞0かつαβ＞0
α,βは異なる２つの負の解⇔D＞0でα＋β＜0かつαβ＞0
α,βは符号の異なる解⇔αβ＜0
となるとき、なぜ２つともD＞0となるのか分かりません。
あと、α,βは符号の異なる解の時D＞0を書かないのはなぜですか？分かる方、宜しくお願いします(；＿；)

回答No.5

elttac

回答 No. 2，3 をお付けしたものです。

　まず，この問題の大大前提として，「実係数の 2 次方程式」
　　ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0
（a は 0 でない）を言っています。そうでないと，大小比較ができないので問題自体がナンセンスになります。簡単のため，x^2 の係数が 1 である，
　　x^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0
を考えましょう。b ／ a，c ／ a を新たに b，c と置きなおしました。この解は，x の正の平方根を sqrt(x) として，
　　x ＝ {-b ± sqrt(b^2 － 4c)} ／ 2
です。判別式 D は，この根号の中で，これが正数のときに解が実数であることはご説明しました。
　それで，虚数解のとき（D ＜ 0）ですが，このときの解は，虚数単位を i として，
　　x ＝ {-b ± i・sqrt(4c － b^2)} ／ 2
です。この 2 つの解を加えると，一方の解は虚数部分が正，他方は負です。ですから，加えると虚数部分は相殺されて，実数しか残りません。また，積については，次の式
　　(p ＋ qi)(p － qi) ＝ p^2 ＋ q^2
を考えると，2 次方程式の解はこの形をしていますから，積も実数 c になります。
　これは，実係数 2 次方程式の解が
　　x ＝ （実数部分） ± （虚数部分）
で出てくる性質によっています。もし，実係数でない 2 次方程式では 2 つの解の和・積は実数になるとは限りません。

　一般に，2 次方程式（実係数とは限らない）
　　x^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0
の解 p，q について，解と係数の関係
　　p ＋ q ＝ -b
　　pq ＝ c
が成り立ちます。このことは，回答 No. 2 でも触れました。係数が実数であれば，解の和と積はもとの方程式の係数に跳ね返ってくるので，実数，となります。
　係数が実数でなければ，解が出たところで，和と積はその「実数でない」もとの方程式の係数になります。

お礼

ありがとうございます☆おかげでこの間のテストできました!!