２次方程式の実数解の符号

質問

２次方程式a+x2(←二乗)+bx+c=0の２つの解α,βと判別式Dについて、
α,βは異なる２つの正の解⇔D＞0でα＋β＞0かつαβ＞0
α,βは異なる２つの負の解⇔D＞0でα＋β＜0かつαβ＞0
α,βは符号の異なる解⇔αβ＜0
となるとき、なぜ２つともD＞0となるのか分かりません。
あと、α,βは符号の異なる解の時D＞0を書かないのはなぜですか？分かる方、宜しくお願いします(；＿；)

回答No.4

noname#17965

なんだ間違ってるじゃん！！と思ってたら、
この式、か～なり考えて作ってますよ。当然Ｄ＜０つまり複素数まで考えた上で記述してあります。

説明がややこしいので結論だけ先に言うと、
(1)上２つの式でＤ＞０が必要な理由は「正の」解、「負の」解とあるから
(2)３つめの式でＤ＞０が不要な理由は、αβ＜０と宣言した時点ですでにＤ＞０と言ったに等しいから書く必要がない

(1)について
二つの式の左辺で正の解とか負の解というからには、α、β＞０とかα、β＜０ですが、複素数の場合は＜＞等の大小関係は成立しません。定理があります。授業で証明もすると思います。つまり左辺で０より大きいか小さいかの指定を書いた時点で「実数解である」と言ったに等しいのです。

だから右辺でも「実数解である」と書く必要があります。つまりＤ≧０が必要です。しかも「異なる」なのでＤ＞０です。

ここで問題になるのは、
「右辺でＤ＞０をわざわざ書く必要があるの？α+β＞０、αβ＞０と書いた時点でＤ＞０が成立しないのか？」
という疑問です。答えはＮｏです。成立しません。α+β＞０、αβ＞０でもＤ＜０になる場合はあります。

そもそもα、βが実数だろうが虚数だろうがα+βとαβは必ず実数になります。計算してみてください。α+β＞０、αβ＞０であったとしてもＤ＞０とは限りません。

(2)について
左辺でα、βは「符号が異なる」と書いてあるのでやはり実数解を持つ（Ｄ＞０）と言ってます。従って右辺でもＤ＞０である必要があります。しかし右辺ではαβ＜０とあるだけです。どういうことでしょう？実は仮にα、βが虚数と仮定するとαβは実数となりαβ＞０です。αβ＜０にはなりません（下記に証明する）。つまりαβ＜０と書いた時点で解は実数すなわちＤ＞０です。改めて書く必要がありません。

２次方程式の２つの虚数解がα、βである時、αβ＞０
証明：
α、βは互いに共役複素数なので以下のように表現出来る。
α＝ａ＋ｉｂ
β＝ａ－ｉｂ　（a,bは実数、ｂ≠０）・・ｂ＝０だと実数になってしまう
αβ＝（ａ＋ｉｂ）（ａ－ｉｂ）＝ａ＾２＋ｂ＾２＞０

ここで面白いのはα、βが虚数であってもαβは実数になる点です。α+βも実数になります。

お礼

ありがとうございました!!
少し不明な点がございましたので、補足の方に質問を付け加えさせていただきました。そちらの回答の方も宜しくお願いします。

補足

虚数の場合でもα+β,αβを計算すると必ず実数になるのはなぜですか？片方が虚数の場合は実数にならない気がします(＞＿＜)
初歩的な質問ですみません。よく分からないので、宜しかったら説明お願いします。