偏微分方程式の解き方
- 偏微分方程式の解を求めるための手法として、正規形に変換する方法があります。
- 具体的な方程式の例として、Uxx + 4Uxy + 4Uyy = 0やUxx - 4Uxy + 3Uyy = 0、または4Uxx - Uyy = 0などが挙げられます。
- このような方程式の解き方は、変数変換を行いU(x,y)をv(x,y)やw(x,y)と表してから元の方程式に代入し、求める解を得る方法です。
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偏微分方程式の解き方
以下の偏微分方程式の解き方（正規形に変換）を教えて下さい. (1)Uxx + 4Uxy + 4Uyy = 0 (2)Uxx - 4Uxy + 3Uyy = 0 (3)4Uxx - Uyy = 0 <解答> (1)U=x f(2x-y)+g(2x-y) (2)U=f(3x+y)+g(x+y) (3)U=f(x+2y)+g(x-2y) いずれの方程式もv=x+py, w=x+qyとおき U(x,y)=U((qv-pw)/(q-p), -(v-w)/(q-p))=U(v,w)とし, Ux, Uxy, Uyyｗ求めて元の方程式に代入して解こうとしましたが うまくいきません. よろしくお願いします。
- tki-
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Xの２次方程式 a・X＾２＋ｂ・X＋ｃ＝０ が二重解αをもつとき、 a・∂＾２ｆ/∂ｘ＾２＋ｂ・∂＾２ｆ/∂ｘ∂ｙ＋ｃ・∂＾２ｆ/∂ｙ＾２＝０ を解くには、 u＝α・ｘ＋ｙ、ｖ＝ｘ とおきます。 ｚ＝U（u、ｖ）とする。 ∂＾２U/∂ｘ＾２＋４・∂＾２U/∂ｘ∂ｙ＋４∂＾U/∂ｙ＾２＝０・・・（＊） において、 u＝－２ｘ＋ｙ、ｖ＝ｘ とおいて計算すると、 ∂＾２ｚ/∂ｘ＾２＝４・∂＾２U/∂u＾２ー４・∂＾２U/∂u∂ｖ＋∂＾２U/∂ｖ＾２、 ∂＾２ｚ/∂ｘ∂ｙ＝ー２・∂＾２U/∂u＾２＋∂＾２U/∂u∂ｖ、 ∂＾２ｚ/∂ｙ＾２＝∂＾２U/∂u＾２． を得ますから（＊）に代入して整理すると、∂＾２U/∂ｖ＾２＝０となります。これを解いて、 まず、∂U/∂ｖ＝A（u）、さらにｖで積分して、U＝ｖ・A（u）＋B（u） となります。（A、Bはuの任意の関数） （２）、（３）も同様です。 （２）では、u＝３ｘ＋ｙ、ｖ＝ｘ＋ｙ、（３）では、u＝（１/２）ｘ＋ｙ、ｖ＝（－１/２）ｘ＋ｙとおきます。
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