• 締切済み

g(a)の条件がわかりません

xy平面上において,実数aに対して,集合 {(x,y)|y≦-x^2+3a,y≧x^2-ax+a} をDaで表す。 1<=a<=2を満たすすべてのaに対して,つねに(x,y)∈Daとなる点(x,y)の集合を図示せよ。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ aが変数として考えると y≦-x^2+3a 3a-x^2-y≧０・・・(1) y≧x^2-ax+a (x-1)a-x^2+y≧０・・・(2) 1≦a≦１で常に(1)(2)を満たす(x,y)の条件を調べる (1)の左辺=f(a) (2)の左辺=g(a)とする (i) 1≦a≦2においてf(a)≧f(1)より求める条件は f(1)=3-x^2-y≧０ y≦-x^2+3 __________________________________________________ ここまでは出来たのですが、g(a)も同じ様にg(a)≧g(1)としたところ間違っていました 解答にはg(a)の条件は g(1)≧０かつ g(2)≧０となっていました なぜｇ(a)は解答のようになるのですか お願いします

みんなの回答

  • ONEONE
  • ベストアンサー率48% (279/575)
回答No.1

f(a), g(a)はaに関して一次関数であることを踏まえると (1)はaの係数が3なのでaが小さい方がf(a)も小さくなります。よって変域の左端が正ならば右端も正となりますので、条件としてはf(1)≧0だけでよいのです。 (2)はaの係数が(x-1)と変数となっているので、両端での条件が必要となります。 ab平面上のb = f(a), b = g(a)の直線を考えると想像しやすいかと思います。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 数学の同値条件について

    閲覧ありがとうございます。拙い質問で恐縮ですがよければお付き合いください。 同値の条件について質問です。 問 　2つの放物線y=x^2とy=ax^2+bx+cとは2直線で交わり、交点におけるこれら2つの放物線の接線は互いに直行するという。a, b, cが変化するとき、このようなy=ax^2+bx+cの頂点の全体はどのような集合を作るか調べ、その集合を図示せよ。 回答 題意よりax^2+bx+c=x^2は相異なる2実数解をもち、その２実数解xに対して、2接線の直行条件より、2x*（2ax+b)=0が成り立つ。 これらは同値な2次方程式である。 これはなぜ同値な2次方程式であるといえるのでしょうか？方程式でy=0となるｘの解が同じでも、最高次の係数が異なっている場合は同値ではなくなるのではないのでしょうか？ よければ回答をよろしくお願いいたします。

  • a実数　f(x)=x^3-3ax とおく。

    a実数　f(x)=x^3-3ax とおく。 （１）f(x)=tが異なる３個の実数解をもつためには、a,tが満たす 　　　条件を求めよ。 　　　これは、y=f(x)とy=tの交点が3個になるときを考えて、 　　　答えは、a>0,-2a√a<t<2a√a （２）g(x)=f(f(x))とおく。g(x)=0が異なる９個の実数解をもつような 　　　aの範囲を求めよ。 　　　 　　　(1)から、f(t)=0 ,t=x^3-3ax これを満たすxが９個あることを考えれば 　　　よいところまでは分かりましたが、このあとをどうしたらいいかわかりません。 　　　よろしくおねがいします。 　　

  • 代ゼミ模試の問題～必要十分条件～

    　代ゼミの模試の問題が返却されたのですが、代ゼミは非常に採点がいいかげんであるのか、数学の問題で大問１つを採点せずに０点にされてしまいました……。それも運が悪いことに、答案に書いた解法が、模範解答には出ていない手法でしたので(採点講評によればこの手法で解いた受験生は結構いたそうなのですが…)、解答と照らし合わせるということも出来ないので、間違いを見つけたりすることも出来なくて困っています。そこで、次の問題に私の解答を見ていただけないでしょうか？ 問　a，bを実数とする。任意の実数ｘに対して、 　[x^2 +ax +b]≧[x^2 -1]　[　]は絶対値記号 　が成り立つとき、a,bの条件を求めよ。 (私の解答) [x^2 +ax +b]≧[x^2 -1] ⇔(x^2 +ax +b)^2≧(x^2 -1)^2 この不等式を整理すると、 2ax^3 +(a^2 +2b +2)x^2 +(2ab)x +b^2 -1≧0 このときの左辺をf(x)とおくと、a≠0のとき x→∞ or -∞ のいずれかのとき、f(x)は-∞に発散するため、f(x)≧0がすべての実数xで成り立つことはない。 よって、a＝0 このとき、 　f(x)＝(2b +2)x^2 +b^2 -1≧0 すべてのｘで成り立つ条件は、y＝f(x)が２次関数であり、グラフが下に凸かつ頂点のy座標が0以上であること、または、y＝ｆ(x)が0以上の定数関数であること、であるから、 　2b +2＞0　かつ　b^2 -1≧0　または　2b +2＝0 かつ b^2 -1≧0 　∴b≧1 または b＝-1 よって、求める条件は 　a＝0,b≧1　または、a＝0,b＝-1　……(答) 　採点講評によると、このように与えられた不等式を２乗して条件を導く手法では、導いたa,bの条件は必要条件なので、a,bが十分性を満たしていることを示さなければならない、と書いてあります。この十分性を示さないといけないということがよく分からなくて困っています。はじめの２乗したところで、⇔と書きましたが、実際には⇒しか成り立っていないから、とかいうことなのでしょうか？教えてください。 　また、上の解答はそのようなことを全く意識できなかったように思いますので、解答記述が不十分になってしまっていると思います。どのように訂正すべきかも教えていただきたいです。 　お願いします！

  • 集合と必要十分条件

    a.bを実数として 5x+2(a-b)y≦6a+4b≦8x-4(a+2b)y で表されるxy平面上の領域をDとする。 (1) 領域Dがx+y-2≦0で表される領域に含まれるための a.bの必要十分条件を求めよ (2) 領域Dがx+y-2≦0かつ2x-y-1≧0で表される領域に含まれるための a.bの必要十分条件を求めよ この問題を教えてください。 領域の問題では図示するのが普通だと思っていたんですが 領域Dはさすがに図示が出来ず、考えあぐねいています。 よろしくお願いします

  • 3次曲線の束縛条件のとき、2次式の最小値

    x,y は実数で，x^3+6xy+8y^3=1 のとき，x^2+y^2+2y の最小値と，そのときの x,y の値を求めよ． (アイデア1) x^3+6xy+8y^3=1をパラメータ表示しようと思ったのですが・・・。 (アイデア2) x^3+6xy+8y^3=1 図示し、x^2+y^2+2y=kと置き、x^2+(y+1)^2=k+1と共有点を持つ条件を幾何学的に考えようと思ったのですが・・・。 (アイデア3) x^3+6xy+8y^3=1 と x^2+y^2+2y=k からxもしくはyを消去し、解を持つための条件を代数的に考えようと思ったのですが・・・。 (アイデア4) ラグランジュの未定乗数法で、 f(x,y,λ)=x^2+y^2+2y+λ(x^3+6xy+8y^3-1) とおき、 ∂f/∂x=2x+λ(3x^2+6y)=0, ∂f/∂y=2y+2+λ(6xy+24y^2)=0 ∂f/∂λ=x^3+6xy+8y^3-1=0 を連立して解こうと思ったのですが・・・。 いずれも計算がストップしてしまいました。 計算の続きができるでしょうか? 別のアイデアはあるのでしょうか？ 一般の3次曲線の束縛条件が与えられたとき、一般の2次式の最小値(最大値)を与える明示式はあるのでしょうか？

  • 関数が非負となる条件の問題

    x,y,zは任意の実数値をとる。 f(x,y,z)=3x^2+3y^2+az^2-2xy-2yz-2zx が任意の(x,y,z)の組に対して非負となるような実数aの集合を求めよ。 という問題です。極値出したり、f(x,y,z)>0としてaだけ分離させてみたりしたのですがどうもわかりません。 よろしくお願いします。

  • 微分の問題

    x^3-3ax+4a=0・・(1)が相違なる三実数解を持つような定数aの値を求めよ f(ｘ)=(1)の左辺 とおいて、極値を持つ時のｘの値を求めるとｘ＝0、2aとなります。 求める条件は「f(0)*f(2a)<0」 だけでいいのかなと思ったのですが、解答には「2a≠0」という条件も含まれていました。 でも実際同じ値を掛けて、負になることってないように思うので、この条件はいらないんじゃないかなと思ったのですが、どうしてこの条件が必要なのでしょうか？ よろしくお願いします。

  • 集合、論理問題

    (1)2つの命題p,qの真偽と、p⇒qの真偽の関係を真偽表で表せ。 (2)条件『x>y⇒x^2>y^2』が成り立つような実数x,yの存在範囲を求めxy平面上に図示せよ。（(1)の真偽表に基づいて考察すること） (3)任意の実数 x に対して、条件『x>y⇒x^2>y^2』が成り立つ為の実数 y の条件を求めよ。((2)の図に基づいて考察すること) (4)対称領域をXとする2つの条件をP(x),q(x)とするとき、任意のxに対して条件『p(x)⇒q(x)』が成り立つことと『{x∈X|p(x)}⊆{x∈X|q(x)}』は同値である事を示せ。（(1)の真偽表に基づいて考察すること、また証明の際ベン図は用いないこと。） (5)任意の実数x,yに対して、条件『x^2+(y-1)^2≦z⇒y≧x』が成り立つ為の実数zの条件を求めよ。（(4)に基づいて考察すること） (1)の解答は p q p⇒q ------------ t t t f t t f f t t f f ※t=true f=false だと思うのですが・・・ (2)の解答は y=xの直線とx軸の間の範囲だと思うのですが・・・。 (3)の解答は 　yの条件とはどのように答えたら良いのかわかりません。 (4)、(5)ともに全くわからないのです。 集合や命題がとにかく苦手です。 どなたか教えて頂けないでしょうか？ よろしくお願い致します。

  • 実数条件と2次方程式

    x+y=u,xy=vと置き換えるとき x,yが実数であればuとvにどのように条件を引き継ぐかを考えます ある参考書によると x,yが実数 ⇔x+y,x-yが実数 ⇔uが実数、(x-y)^2=(x+y)^2-4xy>=0 ⇔uが実数、u^2-4v>=0 と書いてありました しかしここでまず疑問に思ったのが、一般的にtについての2次方程式の 解の条件に帰着する方法で考えると思うのですが、それで同値変形してみると x,yが実数 ⇔tについての2次方程式t^2-ut+v=0が2実解を持つ ⇔D>=0 となりuが実数という条件が出てきません どこがおかしいのか教えていただきたいと思います また、x,yが実数であり0<x<1,0<y<1という条件を同様に考えて変形すると x,yが実数、0<x<1,0<y<1 ⇔tについての2次方程式t^2-ut+v=0(=f(t)とおく)が0<t<1に2実解を持つ ⇔D>=0,軸>0,f(0)>0,f(1)>0 というようになります これは正しい同値変形なのでしょうか 合わせてご教授お願いします 判別式Dが実数係数の式でしか使えないということが関係しているのか とも思うのですが、やはりよくわかりません よろしくお願いいたします

  • 条件を満たす点の存在範囲

    実数ｘ,ｙがｘ^2＋ｙ^2≦２を満たしている。 問１:ｕ=ｘ＋ｙ、γ=ｘｙとおくとき点(ｕ,γ)の存在範囲を図示せよ。 問２:３ｘｙ＋２ｘ＋２ｙの最大値、最小値を求めよ。 お願いいたします

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する