黄金比の証明。

質問

１＋(√5)
１：――――――
　　　　　２
この黄金比はピラミッドやギリシア文化に使われています。
その証明方法について教えてください。
なぜ、美しく見えるのか？
詳しくお願いします

回答No.4

stomachman

φ=(√5+1)/2, 1/φ=(√5-1)/2
黄金比φを持つ長方形をひとつ見せられたところで、特別綺麗に見えるという訳じゃあない。しかし、幾何学的デザインに向いた面白い性質があります。

　一例として、沢山の（全て辺が平行か垂直な）正方形を使って渦巻きを作ってみましょう。（これは「再帰的」ということを活かした簡単な自己相似図形です。）
　１辺１の正方形（でかいやつが良いです）を描いてください。その頂点を時計回りでABCDとします。
　次に、辺ABに外接する一辺(1/φ)の正方形を描きます。この小さい正方形は一つの頂点C'がAと一致していて、もう一つの頂点B'がAB上にあるようにします。そしてもとのでかい正方形の外側にあるんですよ。この小さい正方形にも頂点に時計回りにA'B'C'D'と名前を振りましょう。B',C'が決まっているから、一意的に名前が付きますね。
　今度は正方形A'B'C'D'に対して、辺A'B'に外接する一辺(1/φ^2)の正方形を描きます。この小さい正方形は一つの頂点C''がA'と一致していて、もう一つの頂点B''がA'B'上にあるようにします。これにも頂点に時計回りにA''B''C''D''と名前を振りましょう。
　同じようにして、４個目の正方形を作ります。すると４個目（一辺(1/φ^3)）の頂点D'''は、最初の正方形（一辺１）の頂点Bとぴたり一致し、A'''は辺AB上に来ます。そして、真ん中にA''',B'''B'',B'で囲まれた長方形がのこります。さらに小さい正方形を作り続けていくと、この長方形の中をぐるぐる回りながら、どんどん埋めていきます。
　今度は逆に、最初の正方形ABCDの隣に一辺φの正方形を描きましょう。辺BCに接するようにして、Cに頂点が来るようにします。これも同じように続けていくことができ、ぐるぐる周りでどんどん拡大していく渦巻きができあがります。

　それぞれの正方形の中に、その頂点B(B',B'',....)を中心とし、その正方形の一辺を半径とする１／４円弧を描いてみると素敵な図柄になります。hero1000さんご紹介のHPに書いてある「巻き貝」を彷彿とさせますね。