０＾０について

質問

べき乗の定義より、
　0^1 = 0
が成立する必要があるから、
　0^y = (1-y)f_1(y)
となる。ここで、f_1(y)は未知の関数である。

また、
　0^2 = 0
も成立する必要があるから、
　0^y = (1-y)(1-y/2)f_2(y) = {1-y+y(y-1)/2!}f_2(y)
となる。ここで、f_2(y)も未知の関数である。

同様に、
　0^3 = 0
より
　0^y = (1-y)(1-y/2)(1-y/3)f_3(y) = {1-y+y(y-1)/2!-y(y-1)(y-2)/3!}f_3(y)
となる。

これを繰り返すことにより、
　0^y = A{1+Σ[n=1,∞](-1)^n*C(y,n)}
が得られる。ここで、Aは定数であり
　C(y,n) = {Π[m=0,n-1](y-m)}/n!
とする。y,n が共に自然数でn≦yなら、これは組合せに一致する。
Aが定数となる理由は、{}内の式が、y>0 なら 0 で y<0 なら発散するからである。

ここで、べき乗に対する別の条件を加えてみる。たとえば、
　x^0 = 1
と仮定する。この場合、
　0^y = 1+Σ[n=1,∞](-1)^n*C(y,n)
となり、
　0^0 = 1
となる。

以上の内容について、誤りはありますか？

回答No.6

麻野 なぎ（@asano_nagi） · ベストアンサー

あ、ちょっと間違い。

> 因数定理については、確かに、0^y = (1-y)f_1(y) とは書けます。失礼。

これは、y = 1 のところでは書けるのですが、それ以外のところに定義を拡張できるかどうかは、適切な f_1(x) が存在することを言わなければ明確にはなりません。

これも「定義可能」を示すことになります。

で、それがたとえば、「0に等しい恒等式」だったりするわけですが、y = 0 を含んでなおかつ、「0に等しい恒等式」とするなら、0^0 = 0 という「結論を含んだ式なので議論の形としては間違い」です。

f_1(y) が有限次元の多項式なら、（f(y)有限次元の多項式なので）も因数定理から「f_1(x)が存在する」といえるわけですね。

確かに、「有限次元の多項式」に限定するのは間違いでした。が、「何でもいいから存在する」というものでもありません。

お礼

> これは、y = 1 のところでは書けるのですが、それ以外のところに定義を拡張できるかどうかは、適切な f_1(x) が存在することを言わなければ明確にはなりません。

関数0^y が y に関する式で表せるという仮定は置いています。
そして、その場合は、因数定理が使えます。

で、最終的に y の関数で表され、目的とする範囲では発散することもなく、元の条件も満足した場合、それ以上に f_1(y) という関数が存在する証明は存在しないと思いますが。

> で、それがたとえば、「0に等しい恒等式」だったりするわけですが、y = 0 を含んでなおかつ、「0に等しい恒等式」とするなら、0^0 = 0 という「結論を含んだ式なので議論の形としては間違い」です。

0^0 は不定なのですから、0^0=0 という結論も含んでいるのは当然のことです。
0^0=1 という結果は、それとは別に、x^0=1 などという仮定を置くことで得られます。

回答ありがとうございました。

回答No.5

麻野 なぎ（@asano_nagi）

数学では、何かを定義したとき、必ず「定義可能であること」を言わなければなりません。
つまり、

前半の議論は、

0^y = f(y) という関数を定義したところからスタートしているように見えます。

この定義からスタートしたとき、後半の

x^0 はどう書き表されますか？

数学では、～という定義をしたら、～ということを示すことができる　というそれだけではほとんど意味をなしません。
少なくともここでいう、「～という定義」が、従来の定義の自然な拡張になっている必要があります。
まず、それを示してください。

さて、f_1(x) が 「0 に等しい恒等式」ならどうなるかと言えば、単に、 0^y = 0 と定義したということを言うに過ぎません。
この場合、結論として、0^0 を定式化しようとしているのに、y = 0 を含んで、0^y = 0 という「結論」からスタートするということになります。

前提で結論を仮定するのは間違いですね。

因数定理については、確かに、0^y = (1-y)f_1(y) とは書けます。失礼。

お礼

> x^0 はどう書き表されますか？

聞かれている内容がよく分からないのですが、
　x^0 = 0^0 = 1+Σ[n=1,∞](-1)^n*C(0,n) = 1
のことでしょうか？

> 少なくともここでいう、「～という定義」が、従来の定義の自然な拡張になっている必要があります。
> まず、それを示してください。

従来の定義とは
(1) a^1 = a
(2) a^(n+1) = a^n * a
(3) a^0 = 1 (a ≠ 0)
(4) a^-n = 1/a^n (a ≠ 0)
のことでしょうか？

(3)の条件は数学的必然性に基づくものではなく、それを外して拡張するのは自然だと思います。
なお、私は 0^0=1 を証明しようとしているのではありません。
0^0=1 という仮定が 0^y と何ら矛盾することがないと言いたいだけですので。

> さて、f_1(x) が 「0 に等しい恒等式」ならどうなるかと言えば、単に、 0^y = 0 と定義したということを言うに過ぎません。
> この場合、結論として、0^0 を定式化しようとしているのに、y = 0 を含んで、0^y = 0 という「結論」からスタートするということになります。

0^y = 0 かどうかを場合分けする理由が分かりません。
私がここで示しているのは、べき乗の定義からは 0^0 の値は決まらないという当たり前の事実です。
そして、それ以外に別の条件 x^0=1 などが存在すれば 0^0=1 として構わないということです。

0^y=0 と定義したら 0^0=0 となることは当たり前ですね。

回答ありがとうございました。

回答No.4

麻野 なぎ（@asano_nagi）

> 0^y = (1-y)f_1(y)

これ以降話を進めるためには、 f_1(y) が、「0 に等しい恒等式ではない」ということをまず示さなければなりません。
少なくとも、「有限次数の多項式」であることを示さなければなりません。因数定理を使うなら。
（f_1 は未知ではだめ）

ついでにいえば、「すべての n について成り立つ」ということと、「だから、0^y = A{1+Σ[n=1,∞](-1)^n*C(y,n)}」も言えるというのは、全く別物です。

また、前半を 0^y (y≠0) ですすめ、後半を x^0 (x ≠ 0）で進めていますが、y≠0 で導出した式を y = 0 のときに、そのまま使えるという保証はどこにもありません。

で、0^y (y≠0) と x^0 (x ≠ 0）で、「つじつまの合う記述ができない」というのが、WikiPedia の言っていることです。

お礼

> これ以降話を進めるためには、 f_1(y) が、「0 に等しい恒等式ではない」ということをまず示さなければなりません。

後の式のAという定数は 0 を含みますから、「0 に等しい恒等式ではない」を除外する必要はありません。

> 少なくとも、「有限次数の多項式」であることを示さなければなりません。因数定理を使うなら。

それこそ、なぜ示さなければならないのか「示さなければならない事柄」ですね。
たとえば、「総乗」の説明ページを見れば、三角関数が積の形で表されているのが分かります。
三角関数は当然「無限次数の多項式」ですが、値が 0 となる因子の積で表されます。

> ついでにいえば、「すべての n について成り立つ」ということと、「だから、0^y = A{1+Σ[n=1,∞](-1)^n*C(y,n)}」も言えるというのは、全く別物です。

この式の右辺は、少なくとも元の条件を満たしています。
私はこれが 0^y であると証明したつもりは無いが、0^0=0 であるとする根拠は十分に潰したつもりです。

> また、前半を 0^y (y≠0) ですすめ、後半を x^0 (x ≠ 0）で進めていますが、y≠0 で導出した式を y = 0 のときに、そのまま使えるという保証はどこにもありません。

y は、最初から最後まで y=0 を含んでいます。

> で、0^y (y≠0) と x^0 (x ≠ 0）で、「つじつまの合う記述ができない」というのが、WikiPedia の言っていることです。

多々誤解があるようですね。
もう一度、考えてみてください。

回答ありがとうございました。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

2個目の式で破綻してますよね。
根拠を示して数学的に導いて下さい。

お礼

２個目の式とは
> 　0^y = (1-y)f_1(y)
ですか？

関数f(x)が x=a で 0 になる、つまり
　f(a) = 0
であれば、
　f(x) = (x-a)f_1(x)
となることは、因数分解の授業で習いました。

回答ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

だとしたら, この質問の文章はなにを意図して書かれたものなんでしょうか?

お礼

0^y = 0 (y∈N)
という条件から 0^y がどのような関数になるか、考えてみただけです。

数学での普通の推論では 0^0=0 という結論にはならないことが確認でき、
これと x^0=1 という仮定からは、0^0=1 が導かれますね。

回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

確認だけど, 各変数の変域はどうなっている?

お礼

m,nは整数を表します。
yは実数です。
xも実数で、x≧0とします。

ただし、x,yを複素数と考えることも可能。
その場合は、
> Aが定数となる理由は、{}内の式が、y>0 なら 0 で y<0 なら発散するからである。
を
> Aが定数となる理由は、{}内の式が、Re(y)>0 なら 0 で Re(y)<0 なら発散するからである。
とする必要があります。

よって、yは、y≧0 または Re(y)≧0 が条件となります。

回答ありがとうございました。