- 締切済み
文字が有理数で基本対称式が整数なら元の文字は整数か
x∈Q、y∈Q、x＋y∈Z、xy∈Z ⇔ x∈Z、y∈Z (⇐の証明)Z⊂Qより。 (⇒の証明)a＝x＋y∈Z、b＝xy∈Zとおく。 x、yはt^2－at＋b=0の解 x、ｙ＝{a±√(a^2-4b)}/2 x、ｙ∈Qなので、√(a^2-4b)∈Q (a^2-4b)は平方数で、(a^2-4b)＝c^2(ただしc＞0)とおくと、 x＝(a＋c)/2、y＝(a－c)/2 ここで、xy＝(a^2－c^2)/4∈Zなので、 a、cはともに偶数かともに奇数。 よって、x＝(a＋c)/2∈Z、y＝(a－c)/2∈Z ところで、 x∈Q、y∈Q、z∈Q、x＋y＋ｚ∈Z、xy＋yz＋zx∈Z、xyz∈Z ⇔ x∈Z、y∈Z、z∈Z は成り立つのでしょうか？ 反例、または証明を教えていただきたいです。 証明は、できれば、3次に限らずに一般に成り立つような方法を教えていただきたいです。
- gadataharaua
- お礼率83% (113/136)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- ramayana
- ベストアンサー率75% (215/285)
n 次の場合でも、一般に成立します。 x1、x2、・・・ 、xn がすべて有理数で、それらの基本対象式がすべて有理整数とします。これらは、有理整数を係数として n 次の項の係数が 1 の多項式の根ですから、代数的整数です。もともとこれらが有理数であるという仮定があるので、有理整数であること分かるのです。 高木貞治「代数的整数論」に詳しい証明があります。
関連するQ&A
- 文字が整数で基本対称式がp倍なら元の文字はp倍か
x∈Z、y∈Z、x＋y∈pZ、xy∈pZ ⇔ x∈pZ、y∈pZ （ただしpは素数） (⇐の証明)pの倍数は加法と乗法で閉じている。 (⇒の証明)xy∈pZ より、 xyはpの倍数 xy/pは整数 xはpの倍数、または、yはpの倍数 xがpの倍数のときを考える。x＋y∈pZより、 x＋yはpの倍数 yはpの倍数 yがpの倍数のときを考えても同様。 ところで、 x∈Z、y∈Z、z∈Z、x＋y＋ｚ∈pZ、xy＋yz＋zx∈pZ、xyz∈pZ ⇔ x∈pZ、y∈pZ、z∈pZ （ただしpは素数） は成り立つのでしょうか？ 反例、または証明を教えていただきたいです。 証明は、できれば、3次に限らずに一般に成り立つような方法を教えていただきたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 文字が実数で基本対称式が正数なら元の文字は正数か
x∈R、y∈R、x＋y∈R^+、xy∈R^+ ⇔ x∈R^+、y∈R^+ (⇐の証明)正の実数は加法と乗法で閉じている。 (⇒の証明)xy∈R^+ より、 (x、y)＝(正、正)、(負、負) ここで、(x、y)＝(負、負)と仮定すると、x＋yは負となり矛盾 したがって、(x、y)＝(正、正) ところで、 x∈R、y∈R、z∈R、x＋y＋ｚ∈R^+、xy＋yz＋zx∈R^+、xyz∈R^+ ⇔ x∈R^+、y∈R^+、z∈R^+ は成り立つのでしょうか？ 反例、または証明を教えていただきたいです。 証明は、できれば、3次に限らずに一般に成り立つような方法を教えていただきたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- お願いします
x＋y＋z=a, xy＋yz＋zx=b , xyz=cとおくとき x＾3 ＋ y＾3＋ z＾3をa,b,cを用いて表すことがわかりません。 因数分解など考えたのですがわからなくて 答はa＾3 -3ab ＋3c ^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz からどのように代入するかよくわからなくて (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)がもうすこまとまれそうな感じがするのですが 例えば（ｘ－ｙ）＾2・(y-z)＾2・ (z-x)＾2 のような感じで でもわかりません おねがいします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学A 命題の証明
x,y,zは０でない実数とする。A＝ｘ＋ｙ＋ｚ B＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ C＝ｘｙｚとする。 （P） A=０ならば、B＜０である。 （Q） A,B,Cがすべて正ならば、ｘ、ｙ、ｚはすべて正である。 （R） ｘ、ｙ、ｚのうち1つだけが正ならば、A<０ または B≦０である。 （１）（P）を証明せよ。 （２）（Q）の成立を仮定して、（R）を証明せよ。 （３）（Q）を証明せよ。 （１）はわかったので、2番以降の解説をお願いします。 ちなみに2番は対偶で考えるように言われました。 3番は xyzのうち（１つだけが正、２つが負）ではないことを示せばよいそうです ご回答お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の質問
ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ、ａ(ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ)＝ｘｙｚが成り立つとき、ｘ、ｙ、ｚのうち 少なくとも１つはａであることを証明せよ。 このとき、x+y+z=a , a(xy+yz+zx)=xyz から (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=0 これを展開して、因数分解すると、 (x+y)(y+z)(z+x)=0 x+y+z=aから (a-z)(a-x)(a-y)=0 と解説があったのですが、 (x+y)(y+z)(z+x)=0 x+y+z=aから (a-z)(a-x)(a-y)=0 の部分がよくわかりません。なぜ、x+y+z=aならば(a-z)(a-x)(a-y)=0 なんでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 因数分解
x+y+z=3-(1),1/x+1/y+1/z=1/3-(2)のとき x^3+y^3+z^3=? という問題なのですが行き詰ってしまいます。(すみません簡単な問題で＞＜) (2)の式の両辺に3xyzをかけて 3(xy+yz+zx)=xyz として解こうとしています。 x^3+y^3+z^3 =x^3+y^3+z^3-3xyz+3xyz =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz =(x+y+z)(x+y+z)^2-3xy-3yz-3zx+3xyz =(x+y+z)^3-xyz+3xyz となって分からなくなっています。この式の間違いを指摘してください。そしてやり方を教えてください。当方高校2年です。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。