線形代数の線形変換などに関する問題を教えて下さい

質問

線形変換に関する問題なのですが、わからなくて困っています。全部で三問です。
回答お願いします。

１) 次の行列を表現行列とする線形変換について平面全体の像を求めよ

i (11) ii (31)
(12) (a2) 　　　　　　　　二行二列の行列です

2)線形変換fにより平面上のすべての点がy=x上の点にうつるとき、fの表現行列の条件を求めよ

(3)fの表現行列が(a -1) のとき直線l: x+y=1の像がl上の点となるような定数aを求めよ。
　　　　　　　　 (3 2)

是非回答お願いします。

回答No.5

info22_

No.2です。

>おそらく[B]のほうの定義を使用するのだと思います。

[1,1][x]=[X]
[1,2][y].[Y]
より

>その方法でやってみたのですが
> X=x+ｙ
> Y=x+2y
> になってxとyをそれぞれX,Yの式で表した
ここまで合っています。

>のですが、そこからもとのxとyの関係が示されていないため、
>何もできなくなってしまいました。
>平面全体の像

(x,y)が平面全体ということですから
(I) x=k,y=-∞～∞(k=0,±1,±2,±3,…)という縦直線の平行線群と
(II) y=k,x=-∞～∞(k=0,±1,±2,±3,…)という横直線の平行線群と
から成る格子の直線群が
(X,Y)平面でどのような直線群の像になるかをグラフで示せば
いいでしょう。
(I) は　X=k+y, Y=k+2y ⇒　Y=2X-k (k=0,±1,±2,±3,…)という傾き2の直線の平行線群と
(II)は　X=x+k, Y=x+2k ⇒　Y=X+k (k=0,±1,±2,±3,…)という傾き1の直線の平行線群と
から成る斜め格子の直線群に像に変換されます。

2)
2)線形変換fにより平面上のすべての点がy=x上の点にうつるとき、fの表現行列の条件を求めよ

線形変換fの表現行列を
[a,b]
[c,d]
とすると
　X=ax+by
　Y=cx+dy
平面上のすべての点(x,y)がY=X上の点に移ることから
　Y=X
が常に成り立つ条件を求めれば良い。
　(a-c)x+(b-d)y=0
任意のx,yについて成立すればよいから
　a=c,b=d
これが線形変換fの表現行列の満たすべき条件ですね。

>3)は必要ありませんでしたすみません。
それなら省略します。

回答No.4

Tacosan

ん, まぁそこから先は答えが分かっていないと書きにくいかもね.

まず X=x+y で x や y は任意の値をとることができるので, 写した後の X も任意の値をとることができる. これは (X, Y) 平面でいえば「X=一定」という直線上には必ず点があるってことを意味する.

で式をじっと見ると Y=X+y という関係が見える. この y はもちろん X とは無関係に取ることができるから, Y も X とは無関係になる. つまり上の「X=一定」という直線上の, 任意の点が許されるということになる.

だから, 写した後では X も Y も (たがいに無関係に) 任意の値をとることができて, 最終的には「像は平面全体」ということになる.

さて, 2) はできるかな?

回答No.3

Tacosan

本質的には「グラフを移動する」のと同じこと. 点 (x, y) が線形変換で点 (X, Y) に移るとして X と Y の関係を求めればいい.

そして, 「グラフを移動する」のができるなら (3) は質問する必要ないはずだね.

補足

その方法でやってみたのですが
X=x+ｙ
Y=x+2y になってxとyをそれぞれX,Yの式で表したのですが、そこからもとのxとyの関係が示されていないため、何もできなくなってしまいました。

3は必要ありませんでしたすみません。

回答No.2

info22_

線形変換の行列計算の定義として
[A] (行ベクトル)(表現行列)＝(行ベクトル)
[B] (表現行列)（列ベクトル）＝（列ベクトル）
の[A],[B]の2通りありますが、
どちらを使えば良いか、指定してもらえませんか？

補足

おそらく[B]のほうの定義を使用するのだと思います。

説明不足ですみません。

回答No.1

Tacosan

なにをどう考え, どこで困っている?

補足

主に(1)についてなのですが、線形変換によってグラフや点などを移動するのは分かるのですが、平面全体の像をかけというのが理解できませんでした。