ディリクレ関数の理解について
- ディリクレ関数は、有理数の場合に1を、無理数の場合に0を取る関数で、f(x)=lim[m→∞]lim[n→∞](cos2πm!x)^n と表すことができます。
- この関数の性質は、有理数の場合は十分大きい自然数mに対してcos2πm!x=1を満たし、無理数の場合は任意の自然数mに対して|cos2πm!x|<1となります。
- ディリクレ関数の理解には数学の知識が必要ですが、具体的な解説は数学の専門家に依頼することをおすすめします。
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ディリクレ関数について質問があります
xが有理数の時に1を、 xが無理数のときに0をとるような関数f(x)をディリクレ関数というですが、 この関数は f(x)=lim[m→∞]lim[n→∞](cos2πm!x)^n と書くことが出来るそうです。 その理由が本を読んでも良く分かりません。 本には xが有理数ならば、十分大きい自然数mに対してcos2πm!x=1を満たし xが無理数ならば、任意の自然数mに対して|cos2πm!x|<1となるから。 と書かれていたのですが、よく分かりませんでした。 大学の数学科でεーδ論法を1年間勉強して、ルベーグに手を出し始めたところなのですが、 この関数に苦戦しています。 解説お願いいたします。
- cermons
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質問者が選んだベストアンサー
難しく考えすぎ。 落ち着いてよくみれば高校生でもわかる単純なはなし。 εーδとかルベーグとか難しいことは一旦忘れてみよう。 xが有理数 →x=a/b((a,bは整数)mがbより大きくなると m!xは"いつも整数"になる。 →cos(・・・)が1になる。 xが無理数 →どのようなm対しても、m!xが整数にならない(なったらビックリ) →cos(・・・)が1にも-1にもならない(絶対値が1未満になる) →(n→∞)のときcos(・・・)^nが0になる。
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- Tacosan
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どこが「よくわからない」んでしょうか?
お礼
分かりました!ありがとうございました!!!!!!
補足
xが有理数のとき、十分大きなmにたいして、なぜlim[n→∞]f(x)=1になるのでしょうか? x=a/b(a,bは互いに素)と置いて考えても、上の理由が見つかりませんでした。
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お礼
ああ!なるほど!とても分かり易いです…ご丁寧にありがとうございました! 本当に助かりました!!