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数学問題
さいころを繰り返し投げ、n回目に出た目をXnとする。n回目までに出た目の積X1X2…XnをTnで表す。Tnを5で割った余りが1である確率をpnとし、余りが2,3,4のいずれかである確率をqnとする。 (1)pn+qnを求めよ。 (2)p(n+1)をpnとnを用いて表せ。 (3)rn=(6/5)^n pnとおいてrnを求めることにより、pnをnの式で表せ。 お願いします!
- usagikhh94
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- shuu_01
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卓球・水泳を終えて、正解を見るのが楽しみだったのに、まだ、回答ない (;_;) 仕方ないから自分で解きます: (1) n回 さいころを振り、1回でも 5 が出ると、5 で割り切れてしまいます したがって、pn + qn は n回 さいころを振り、1回も 5 の出なかった確率ですので pn + qn = (5/6)^n (2) n回 さいころを振り、Tn を 5で割った余りが 0 の場合、n+1 回目に振った目がなんであれ、5 で割り切れます 1 の場合、 々 1 か 6 の時、5で割った余りは 再び 1 になります その確率は 2/6 pn = 1/3 pn 2 の場合、 々 3 の時、5 で割った余りは 1 になります 3 の場合、 々 2 の時、 々 4 の場合、 々 4 の時、 々 その確率は 1/6 qn 以上を足して、 p(n+1) = 1/3 pn + 1/6 qn = 1/3 pn + 1/6 {(5/6)^n - pn } = 1/6 pn + 1/6・(5/6)^n (3) 両辺に (6/5)^(n+1) を掛けて (6/5)^(n+1) p(n+1) = (1/6)(6/5) (6/5)^n pn + (1/6)(6/5) = 1/5・(6/5)^n pn + 1/5 ここで、(6/5)^(n+1) p(n+1) 、(6/5)^n pn を m と置くと、 m = 1/5・m + 1/5 特殊解 m = 1/4 (6/5)^(n+1) p(n+1) -1/4 = 1/5{(6/5)^n pn - 1/4} (6/5)^n pn - 1/4 = (1/5)^(n-1){(6/5)p1-1/4} pn = (3/4)(1/6)^n + (1/4)(5/6)^n 【答え】 (1) pn + qn = (5/6)^n (2) p(n+1) = 1/6 pn + 1/6・(5/6)^n (3) pn = (3/4)(1/6)^n + (1/4)(5/6)^n
- suko22
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(1)pn+qnは、 Tnを5で割ったとき余りが0とならない確率、すなわち1回も5が出ない確率となるので、 pn+qn=(5/6)^n (2)n回終了時点でのTnを5で割ったときの余りで分類して、それぞれに対してn+1回目になにが出ればp(n+1)に遷移するかを考えます。 Tnが5m、5m+1、5m+2、5m+3、5m+4(m:整数)のときの確率をそれぞれsn、pn、q’n、q’’n、q’’’nとすると、 n+1回目に 1or6が出たとき、pn→p(n+1) (∵(5m+1)・1=5m+1、(5m+1)・6=5(6m+1)+1) 3が出たときq’n→p(n+1) 2が出たときq’’n→p(n+1) 4が出たときq’’’n→p(n+1) となるので、 p(n+1)=(1/3)pn+(1/6)(q’n+q’’n+q’’’n) =(1/3)pn+(1/6)qn(∵qn=q’n+q’’n+q’’’n) =(1/6)(pn+qn)+(1/6)pn =(1/6)(5/6)^n+(1/6)pn (3)(2)の漸化式の両辺を(5/6)^(n+1)で割ればr(n+1)=(1/5)rn+1/5となります。あとは自分で解いてみてください。
- shuu_01
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受験の月 漸化式について http://examoonist.web.fc2.com/recurrence-formula.html に説明あるよ 今回は指数型の漸化式 a(n+1)=p・an+r^n 両辺を r^(n+10 で割る特殊解型で解きなさいって問題かな? あ、もう卓球に行かなくちゃ
- Y_Narukami
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(1)が解けない時点でどうにもならない。問題の意味自体は算数レベルですから。
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- 締切済み
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