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ベクトルの問題
空間内に原点Oと３点A(5,1,-1),B(3,2,2),C(3,-1,-1)が与えられている。 (1)Aから直線BCに下した垂線の足の座標を求めよ。 (2)点Pが三角形ABCの周および内部を動くとき、|ベクトルOP|の最小値を求めよ。 ※(1)の答え⇒(3,0,0) (2)の答え⇒3 (1)の誘導から(2)をどう解いたらよいかわかりません。 教えてください。よろしくお願いします。
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- 178-tall
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>>(2)点Pが三角形ABCの周および内部を動くとき、|ベクトルOP|の最小値を求めよ。 >三角形ABC の周および内部の点 P の式表示を求めれば、(1) の手法で解決できるでしょう。 煩雑てはありそう。 「三角形ABC の周および内部の点 P」だけでも。 P = A + s{ (B-A) + t(C-B+A) } ただし 0≦s, t≦1 らしい。
- 178-tall
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>空間内に原点Oと３点A(5,1,-1),B(3,2,2),C(3,-1,-1)が与えられている。 以下、目への負荷軽減のためベクトルを省略記載。 原点 O から A への OA を、単に A と記す。 原点 A から B への AB はそのまま。AB = OB-OA だが、その始点は原点 O であることに注意。 >(1)Aから直線BCに下した垂線の足の座標を求めよ。 まず、直線BC 上の点 Q の式表示は？ Q = C+k*(B-C) = (3,-1,-1) + k*(0,3,3) …(1) A と Q との距離は？ Q-A の内積の平方根。 Q-A = (-2,-2,0) + k*(0,3,3) <Q-A・Q-A> = 8-12k+18k^2 = 2*(4-6k+9k^2) = 2*{ (3k-1)^2 +3} …(2) A から最短距離の Q は？ (2) によれば、k=1/3 の点。 (1) へ代入すると、 Q = (3,-1,-1) + (1/3)*(0,3,3) = (3,0,0) >(2)点Pが三角形ABCの周および内部を動くとき、|ベクトルOP|の最小値を求めよ。 三角形ABC の周および内部の点 P の式表示を求めれば、(1) の手法で解決できるでしょう。
- info22_
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(1)の垂線の足Hの座標は|ベクトルOP|の最小値を与える点Pの座標でもあって、 それとなく(2)の|ベクトルOP|の最小値を与える点Pの位置をほのめかしていますね。 >(1)の誘導から(2)をどう解いたらよいかわかりません。 実はこの問題には「３垂線の定理」（参考URL参照）の考え方が要求されます。 添付図の原点O,点A,B,Cの位置と△ABCが含まれる平面ABCに原点から下ろした垂線OD とDから直線BCに下ろした垂線の足が「(1)の点Aから直線BCに下ろした垂線の足」Hと 一致していることを確認しながらご覧ください。 平面ABCに原点Oから下ろした垂線ODと点Dと直線BCに下ろした垂線DHの足Hは原点Oから 直線BCに下ろした垂線の足と一致する（３垂線の定理）ことから△ODHが直角三角形であり 同時に、辺OHが原点Oと直線BCとの最短距離であることがわかります。 また点Dは△ABCと同一平面上にあるので、点Dと動点Pの存在範囲である△ABCの周および内部の領域の最短距離点は図から辺BC上にあることがわかります。点Dと辺BC上の最短点は 点Dから直線BCに下ろした垂線の足H（これは辺BC上に存在します）ですからDPの最小値は DHとなります。このHの位置に対して３垂線の定理から直角△ODHの辺OHが原点Oと動点Pの 距離である「|ベクトルOP|」が最小となる位置になります。 したがって、 |ベクトルOP|の最小値＝|ベクトルOH| となるから 点Hの座標がわかれば、最小値が計算できますね。 点Hの座標(3,0,0)の求め方はわかりますか？ 幸いなことに点Hはx軸上の点なので |ベクトルOH|=OH=3 はすぐわかりますね。 点Dの求め方は ベクトルOD=(x,y,z)とおいて 平面ABC=ベクトルOA+sベクトルAB+tベクトルAC=(5-2s-2t,1-2s+t,-1+3t) 上に点Dがあることから (5-2s-2t,1-2s+t,-1+3t)=(x,y,z) ...(A) ベクトルAB⊥ベクトルOD、ベクトルBC⊥ベクトルODから ベクトルの内積=0の関係より 2x-y-3z=0,3y+3z=0 ...(B) (A),(B)より D(1,-1,1),s=4/3,t=2/3 と求まります。 点Dから辺BCに下ろした垂線の足の座標(実は(1)で求めた点Hの座標と一致)は ベクトルDH⊥ベクトルBCの条件から ベクトルDHとベクトルBCの内積=0が成り立つこと とHが直線BC上にあること を使えばH(3,0,0)がすぐ求まります。 したがって OH=3が求める|ベクトルOPの最小値となります。 お分かり？|
- kazaguruma87
- ベストアンサー率36% (15/41)
(1)…点Aと線分BCとの距離の導出 (2)…点Oと線分BCとの距離の導出 という誘導ではないでしょうか． (1)|ベクトルOP|が最小 ↓ (2)線分BC上の点Pと点Oの距離が最小 ↓ (3)|OP|⊥|BC| ↓ (4)線分BCと点Oの距離を求める という気がします． 平面ですが，(2)→(3)→(4)を説明しているページがありますのでURLを載せておきます．
- Tacosan
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O からそこ (が△ABC の周または内部にあれば) までの距離
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