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三角形の性質
staratrasの回答
- staratras
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No.5です。少し視点を変えるとこの問題の図形的な背景がわかります。 AB>ACである三角形ABCが与えられれば、AB-ACは一定の値になります。 このとき三角形ABC内の点Pについて PB-PCとAB-ACの大小を考えます。 PB-PC=AB-AC となる点Pは、要するに２定点B、Cとの距離の差が一定値である点の集まりのうちPB>PCの方だから、B、Cを焦点とする双曲線の片方(三角形の頂点Aを通る方）上にあります。（図の赤い曲線のうち右側の方） 点Pがこの双曲線よりC側にあればPB-PC>AB-ACとなり、B側にあればPB-PC<AB-ACです。 三角形の頂点Aから辺BCに降ろした垂線AH上の点Pは、点Aと一致する場合以外すべて双曲線よりC側にあるので、PB-PC>AB-ACです。 なおこのサイトで以前、AB>ACである三角形ABCにおいて、角Aの２等分線AL上の(点Aを除く)点P’についてP'B-P'C<AB-AC となることを証明せよという問題についてのご質問がありましたが、双曲線上のある点における接線は、そのある点と双曲線の２焦点を結んでできる角を２等分するという双曲線の接線の性質を考えると、こちらの問題の図形的な背景も興味深いと感じます。
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