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三角形の性質
staratrasの回答
以下の証明は三平方の定理や三角形の相似を使っていません。 三角形ABCの辺AB上にAC’=ACとなるように点C’を、また三角形PBCの辺PB上にPC”=PCとなるように点C”をそれぞれとる。AB-AC=AB-AC'=BC'、PB-PC=PB-PC"=BC" だからAB-ACとPB-PCの大小を比較するには、BC’とBC”の大小を比較すればよい。 ここで点Aを中心とする半径ACの大円と点Pを中心とする半径PCの小円を考えると、点Pの位置にかかわらず、この2円は点Cのほか、辺BCにＡから降ろした垂線をAHとするとCH＝DHとなる辺BC上の点Dで必ず交わる。なぜならば三角形AHC≡三角形AHDよりAC＝AD、三角形PHC≡三角形PHDよりPC＝PDだからである。 小円は両端を除く劣弧CDの間でのみ大円の外側にあり、それ以外では大円上または内側にある。C”は小円上の点である。点Pは垂線AH上にあるが、点Pが点Aに一致したとき点C”は点C’と一致し、点Pが点Hに一致したとき点C”は点Dと一致する。この両端以外では点Pの位置にかかわらず点C”は大円の内部にある。 ここで点Bを中心とする半径BC’の円を考えると、この円は点C’で大円と接するので大円の内部の点C”についてと、点C’を除く大円上の点C”(点Dと一致した場合）については、常にBC’<BC”が成り立つ。よってAB-AC<PB-PC である。
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