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数学A 三角形の重心の問題について
この三角形の重心の問題がわかりません。 やり方を教えていただきたいです。 答えは、AE:EG=3:1です。 よろしくお願いします。
- contorabass
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No.1 です No.1 が ぐじゃぐじゃ長すぎ、反省して No.4 を回答しましたが、それでも長いです 三角形の重心は今回 初めてでないので、 AG:GL = 2:1 = 4:2 AD:DB = AE:EL = 1:1 = 3:3 と既に頭に入っているので、 実際はその比を図に書き込み、 AE:EG = 3:1 とすぐわかっちゃいますよね
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- shuu_01
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僕はよく定理とか公式を忘れて、試験で問題を解くとき、自分で導いてました 今回の重心も 2:1 というの、経験上、知ってはいましたが、、、 なんと、 三角形の重心(定理) 三角形の3つの中線は 1点で交わり、その交点は中線を 2:1の比に分ける。 http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/math/sankaku-en-1.htm という定理があったようです (そんな定理 習った記憶に全然残ってませんが)
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ありがとうございます。
- shuu_01
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No.1 です 確かに No.1 はまどろっこし過ぎたので、反省し No.2 さんの解答を参考し、短くしました △ABL と△ADE は辺の比が 2:1 の相似なので AL:AE = 2:1 AE=EL △BCG と △DFG は辺の比が 2:1 の相似 △CGL と △DEF も 辺の比が 2:1 の相似となり GL:EG = 2:1 EG = (1/3)EL ∴ AE:EG = EL:(1/3)EL = 3:1
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- oo14
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難しく考えすぎでは? 小学生なら、記号の使い方とか読み方はわからなくても 2EG=GL,3EG=AE こたえは AE:EG=3:1 とすぐ答えるはず。 証明しろといわれると#1さんのような回答になってしまうし、 理由を説明しろといわれれば#2さんのような回答もありでしょう。 でも、そんな問題は出るんですか? まるばつか、あっても3択問題でしょう。 小学生のように1秒で済ませばよいのでは。 あるいはいっても、中学1年生の図学レベルでよいと思います。
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- naniwacchi
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中線連結定理を使えば、DE:CL= 1:2であることがわかる。 あとは、重心の性質を用いれば。
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- shuu_01
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G が重心ということは、△ABC を 直線 AL で割ってできた△ABL と △ACL の面積が等しく、高さが同じなので、底辺の BL と CL は同じ長さです。同様に AD と BD も同じ長さです さらに、BG を伸ばして AC との交点を F とおくと、同様に AF と CF も同じ長さです △ABL と △ACL の面積が等しいということは、△ABG と △ACG も高さが同じ、底辺が同じなので、面積が同じ とすると、△ABG、△BCG、△ACG の3つはいずれも面積が同じ、ということは△ABC の 1/3 の面積です ということは、AL:GL = 3:1、ということは GL = (1/3)AL、AG =(2/3)AL です BC と DF は平行、AD:BD = 1:1 ですので、AE:EL =1:1 です ということは、AE = (1/2)AL EG = AG - AE = (2/3)AL - (1/2)AL = (1/6)AL AE:EG = (1/2)AL: (1/6)AL = 3:1 【答え】 3:1
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△ABCの重心Gを通り辺BCと交わらない直線lで2つの部分に分けるとき、小さい方の面積が最小になるのはどのような場合か 解説は図のように各点と長さを定める(AB//EG,AC//DG)このとき、Gが重心だからAD=EG=c/3 AE=DG=b/3 AP//EGにより AP:EG=AQ:EQよってcx:c/3=by:(by-b/3)整理して 1/x+1/y=3(1) ここで△APQ/△ABC=xyであるから xyについて考えると(1)により1/xy=1/x×(3-1/x)=-(1/x-3/2)^2+9/4 1/x>1,1/y=3-1/x>1により1<1/x<2であるから 2<1/xy<=9/4 よって1/2>xy>=4/9 ただし等号はx=y=2/3のときに成り立つ よって△ABCがlで分けられて出来る2つの図形のうち小さい 方は△APQで、その面積が最小になるのはl//BCの場合である とあるのですがGが重心だからAD=EG=c/3、AE=DG=b/3 の所ですがc/3やb/3 何でそうなるのですか? それと△ABCがlで分けられて出来る2つの図形のうち小さい 方は△APQで、その面積が最小になるのはl//BCの所ですが△APQが小さい方になるというのが分からないです、□PBCQの方が小さいかもしれないじゃないですか、それとl//BCになるのも分からないです
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