中学数学を教えて下さい

質問

今、問題集を解いているのですが解説を読んでも疑問が残ってしまっています。もしかしたらすごく基本的な部分かもしれないのですが、考えても考えてもわかりません。二問あるのですが、どちらかだけでもいいのでお力添えいただければ嬉しいです。

１．ある素数ｐに７２を加えた数を素因数分解すると１３×ｑ（ただしｑは素数）となる。
　　またｐをこのｑで割ると５余るという。
　　このとき、ｐの値で考えられるものをすべて答えなさい。

（解説）
　ｐ＋７２＝１３×ｑより、ｐ＝１３ｑ－７２
　ｐをｑで割った時の商をaとすると、
　ｐ＝aq＋５
　よって、１３ｑ－７２＝aq＋５
　（１３－a)q＝７７　　　　　　　　　　　　　　
　７７＝７×１１、ｑは素数だからｑは７か１１　
　ｑ＝７のとき、ｐ＝１３×７－７２＝１９
　ｑ＝１１のとき、ｐ＝１３×１１ー７２＝７１
　１９，７１は素数だから、問題に適している。

　この解説の
　（１３－a)q＝７７　
　７７＝７×１１、ｑは素数だからｑは７か１１
　ｑ＝７のとき、ｐ＝１３×７－７２＝１９
　ｑ＝１１のとき、ｐ＝１３×１１ー７２＝７１
　の部分なのですが、
　(1)７７が１１×７なのは分かるのですが、なぜそのどちらかがｑの値になるのか
　(2)（１３－a）は無視してしまっていいのか
　(3)７と１１を当てはめて計算するとき、aはどこにいってしまっているのか

　など、全体的によくわかっていません。(1)～(3)を無視してもいいので、回答頂けると嬉しいです。

２，自然数ｎに対して、ｎの約数の個数をｆ（ｎ）で表す。例えば、ｆ（７）＝２、
　　ｆ（８）＝４，ｆ（９）＝３である。
　　自然数aについて、ｆ（a）＝６のとき、ｆ（aの３乗）の値をすべて求めなさい。

　解説
　６＝１×６＝２×３だから、aを素因数分解すると、素数p,qを使ってa=p×p×ｐ×p×ｐ　
　またはa=pｑ×ｑの形に表せる。
　a=pxpxpxpxpのとき、axaxa=pxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxp（ｐの１５乗）
　になるから、
　f(axaxa)=15＋１＝１６
　a=pqxqのとき、axaxa=pxpxpxqxqxqxqxqxq となるから
　f(axaxa)=(３＋１）×（６＋１）＝２８

　この解説の
　６＝１×６＝２×３だから、aを素因数分解すると、素数p,qを使ってa=p×p×ｐ×p×ｐ　
　またはa=pｑ×ｑの形に表せる。
　の部分なのですが、なぜこうなるのかがわからなく、結果的に全部よくわかりません。
　頭が悪くて申し訳ないのですが、解説をお願い致します。

回答No.3

bon_be

１

（１３－a)×q　　＝７７　の時点で
　　　　７×１１＝７７　もしくは
　　　１１×７　＝７７　しかないと言うことは理解されているのですかね？

　ということは　　ｑ＝１１　（このときは　ａ＝６です）
　もしくは　　　　ｑ＝７　　（このときは　ａ＝２です）

　問題で、ｐの値を求めなさいということですから、ｑもしくはａの値があれば求まります。
　回答例では、ｑから求めていると言うことです。
　ａも使って求めれば　　ｐ＝ａｑ＋５に代入して
　　Ｐ＝６×１１＋５＝７１
　　Ｐ＝２×７＋５＝１９
　と言うことになります。

２

約数が６個と言うことは
ａ=ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ　と表せたとき　約数は　１　ｐ　ｐ^２　ｐ^３　ｐ^４　ｐ^５　の６個となると言うことです。
ａ=ｐ×ｑ×ｑ　　　　 と表せたとき　約数は　１　ｐ　ｑ　ｑ^２　ｐ×ｑ　ｐ×ｑ^２　　の６個となると言うことです。
これは　６が　１×６　２×３　と表せることから導き出しています。

あとは３乗ですから
ａ=ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐのとき
ａ×ａ×ａ=ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ×ｐ（ｐの１５乗）
　になるから、
約数は　１　ｐ　ｐ^２　ｐ^３　・・・　ｐ^１４　ｐ^１５
だから　１６個　これは計算で求めると　１５乗だから　１５＋１＝１６　（１は０乗の時の　１　を加えています。）

ａ＝ｐ×ｑ×ｑのとき　
ａ×ａ×ａ＝ｐ×ｐ×ｐ×ｑ×ｑ×ｑ×ｑ×ｑ×ｑ
約数は　１　ｐ　ｐ^２　ｐ^３　ｑ　ｑ^２　ｑ^３　・・・　ｐ×ｑ　・・・　ｐ^３×ｑ^６
計算で求めると　(３＋１）×（６＋１）＝２８個
なぜ（３＋１）（６＋１）は、ぞれぞれの個数に０乗（１のこと）を加えたものです。
組み合わせを考えてみればどうかと思います。

お礼

大変遅くなってしまって本当に申し訳ありません。
約数の6個というのはｐの累乗の数なのですね！
わかりやすく長文でのご説明、本当にありがとうございます。
その恩を仇で返すような真似をしてしまい本当にごめんなさい。
今後はこのようなことは決してないようにします。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

keinyfr

１について
(1)７７が１１×７なのは分かるのですが、なぜそのどちらかがｑの値になるのか
A…　qが素数であるので。「素数（そすう、英: prime number）とは、1 と自分自身以外に正の約数を持たない、1 でない自然数（正の整数）のことである。（by wikipedia）」

(2))（１３－a）は無視してしまっていいのか
よいのではないでしょうか。aを求めるのが目的ではなく、素数p,qを求めることが目的なので、ｐ＋７２＝１３×ｑよりqがわかればpも必然的に求まります。

　(3)７と１１を当てはめて計算するとき、aはどこにいってしまっているのか
aが気になるようでしたら計算してはどうでしょうか？ｐ＝aq＋５より求まります。

２について
A…分かってもらえるように説明するのが思った以上に難しいので考え方だけ示します。

一般にaを素数としてa^xという数がありましたら約数の数は(x+1)となることはご存知でしょうか？[a^xはaのx乗]

これが理解できると分かります。

例えば、8=2^3の場合、約数の種類は2^0=1,2^1=2,2^2=4,2^3=8となる。

つまり2を何回かけて違う約数を作り出せるかということを考えると、0（←まったく2をかけないで、3回とも1をかける）,1（2を一回だけ掛けることを選んで他は1をかける。）,2,3回かける場合が考えられるので、4個の違う約数が作れることがわかります。

一般化して2^xならば、0,1,2,…x回かける場合が考えられるのでx+1個の違う約数が作れることがわかります。

また、Aをさらに一般化して

B…一般にa,bを素数として(a^x)*(b^y)という数がありましたら約数の数は(x+1)*(y+1)となることはご存知でしょうか？[a^xはaのx乗]

a^xの約数の個数はx+1個
b^yの約数の個数はy+1個

この2つの約数の組み合わせによって当該数字の約数を求めることができる（←詳しくは確率の教科書を参照、重複組み合わせの考え方を使います。）、ので(x+1)(y+1)個の約数があることがわかる。

これらがヒントです。

これがわかるとa=p^5もしくはa=p*q^2と書けることも理解できるはずです。

がんばれ！

お礼

本当に遅くなってしまって申し訳ありません。
謝って済むことではないと思いますが、ご回答ありがとうございます。
「aを素数としてa^xという数がありましたら約数の数は(x+1)となる」ということは知りませんでした、ありがとうございます！
これから問題を解いていくときにスムーズに解いていけそうです！
せっかく回答してくださったのに本当に申し訳ありませんでした。
以後、このようなことは二度とないようにします。
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

kankan0000

１について

(13-a)q=77において、77は素因数分解すれば11×7になる事は理解されているのですよね。

つまり、qが11の時は(13-a)が7になり、qが7の時は(13-a)が11になるという事です。

qが7または11と仮定できたので、p=13q-72なので

q=7の時は、p=13×7-72=19

q=11の時は、p=13×11-72=71

になります。

理解できましたか？

２については、もう少し考えてみます（汗）

お礼

遅いとは言えないほど遅くなってしまって本当に申し訳ありません。
なるほど、そういうことなのですね。
ご丁寧に教えてくださって本当にありがとうございます！
今後は二度とこのようなことはないようにします。
本当に申し訳ありませんでした。