動学的最適化問題：離散から連続に問題を書き直す

質問

【質問のための準備】
今、次の離散の動学的最適化問題があるとします：

max_{c_t,c_t+1,…,x_t+1,x_t+2,...} log(c_t) + b*log(c_t+1) + b^2*log(c_t+2) + … 0<b<1

s.t.

c_t + x_t+1 - x_t = r x_t, 　　（１式）
x_t+1 >=0　　（２式）

x_tはt期期首における資産残高で状態変数です。
これは個人の貯蓄の問題で、投資のリターンが100*r(%)で与えられる際に、どのようにt期の消費c_tと来期期首の資産残高x_t+1を最適に選択するかという問題です。

【質問】
上記の問題を連続時間に書き直したいのですが、その際、非負制約（２式） x_t+1 >= 0 をどのように表現すればよいのでしょうか？

【私のアプローチ】
以下私のアプローチを書いてみますが、結局よくわかりません。

時点tからt+hまでの時間の流れを考えて、その間は時点tと同じ水準だけ消費したりリターンがあると近似的に考えると、（１式）は

c(t)h + x(t+h) - x(t) = r x(t) h + o(h)

となる。両辺をhで割ってh--->0とすると、

c + dx/dt = Rex

となる。

では、（２式）はといえば、

x(t+h) >= 0.

h—>0とすると

x(t) >= 0

となる。しかし、これは操作変数に対する制約条件とは言えませんよね。なんかおかしい。

では、

dx/dt >= - b

はどうでしょう。これは離散時間の（２式）を以下のように書き換えて強引に連続時間に置き換えたものです。

x_t+1 >= 0 ⇔ x_t+1 - x_t >= - x_t ⇔ (x_t+1-x_t)/x_t >= -1　（A式）

一番右は成長率が-100%以上となります。連続時間で表現すれば

dx/dt >= - x　（B式）

です。しかしこれも、離散と連続を混同してしまっている議論で、（A式）から（B式）への展開に論理的整合性があるわけではありません。

回答No.1

ramayana

お考えのアプローチは、ほぼ同感できます。ただ１点、t の扱い方に違和感があります。以下、誤解があるかもしれないので、間違っていたら補足で指摘してください。

（実は変数が2 個）

max の式には、 t のほかに変数がもう 1 個使われている。それは、t+1 、t+2 、… における +1 、 +2、… である。また、 max の式では t が固定されているのに対し、(１式）と(２式）では t が動いていて、これが見通しを悪くしている。全体を通じて t を固定したほうが、話が見えやすくなる。そこで、

　　ξ_s = x_(t+s)
　　γ_s = c_(t+s)

と置くと、これらの式は、次のように表される：

max_{γ_0, γ_1,…, ξ_1, ξ_2, …} log(γ_0) + b*log(γ_1) + b^2*log(γ_2) + … 0<b<1
s.t.
γ_s +ξ_(s+1) -ξ_s = rξ_s 　 for s = 0, 1, 2, …
ξ_s >=0　　 for s = 1, 2, …

（連続化）

制約式を連続化するにあたって、γとξを s の関数とみなす。これらは、s >= 0なる実数 s において定義されているものとする。すると、（ご質問と同様の手順に従って）次のようになる。

　　γ(s) + dξ(s)/ds = rξ(s) 　for s >= 0
　　ξ(s) >= 0 　 for s >= 0

c と x を使って表現すると、次のようになる。ただし、 u = t + s とする。

　　c(u) + dx(u)/du = rx(u) 　for u >= t
　　x(u) >= 0 　for u >= t

（「操作変数に対する制約条件とは言えませんよね。なんかおかしい。」について）

最後の x(u) >= 0 は、「なんかおかしい」とされる x(t) >= 0 に似ている。 t を固定するとき、 x(t) >= 0 という条件は、制約条件として確かにおかしい。しかし、「 u >= t なるすべての u に対して x(u) >= 0 」という条件なら、別におかしくないと考える。