- ベストアンサー
ベクトル解析の体積積分に関する質問です。
自分なりに答えを出してみたので、検証をお願いいたします。 三次元空間（x,ｙ,ｚ）中の各点で次のように定義されたベクトルＦ（x,ｙ,ｚ）を考える。 Ｆ（x,ｙ,ｚ）＝（2ｘ＾2ｚ, -ｙ＾2, 2ｙｚ） また、三次元空間の立体として、（0,0,0）（1,0,0）・・・（1,1,1）を頂点とする一辺の長さが１の立方体を考え、それをＶと呼びます。 （1）このベクトル場の発散、ｄｉｖＦを計算せよ。 （2）ｄｉｖＦを立方体Ｖの内部全体で積分せよ。 自分の答え： （1） 4ｘｚ （2） 1 以上よろしくお願いいたします。
- betanm
- お礼率96% (469/484)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数14
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1) divF=∂(2x^2ｚ)/∂x +∂(-y^2)/∂y +∂(2yz)/∂z =4xz-2y+2y =4xz なので >（1） 4ｘｚ で合っています。 (2) ∫∫∫[0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1] 4xz dxdydz =∫∫[0≦x≦1,0≦z≦1] 4xz dxdz =∫[0≦x≦1] {[2xz^2][z:0,1]} dx =∫[0≦x≦1] 2x dx =[x^2][x:0,1] =1 >（2） 1 で合っています。
関連するQ&A
- ベクトル解析のポテンシャルを求める問題について
ベクトル場Ｖ＝(x+2y+4z)i+(2x-3y-z)j+(4x-y+2z)kが、rotV=0のときのＶのポテンシャルを求めたいのですが、解答を見てもよく分かりません。 (x+2y+4z)の積分、(2x-3y-z)の積分、(4x-y+2z)の積分をして、積分定数（それぞれC1・C2・C3）がでてくるところまではわかるのですが、解答にはそのあと「これらを比較してC1=(-3/2)y^2+z^2-yz、C2=(x^2/2)+z^2+4xz、C3=(x^2/2)-(3/2)y^2+2xyとすればよいことが分るから」と続き、答えが出ています。 これがよく分からないのですが、分かる方がいらっしゃいましたら教えてください。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル空間 次元 について
前回質問（数ベクトル空間 ベクトル空間）させて頂いた内容です。 http://okwave.jp/qa/q8631000.html#answer 前回の質問内容を整理してわからなかった点を再度質問させて頂きます。 ベクトル空間の次元についてですが、以下のように理解しました。 Vはベクトル空間であるとします。 x,y,z∈Vについて、 (1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 (2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間 (3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間 と理解しました。 R^2は2次元ベクトル空間 R^3は3次元ベクトル空間 R^nはn次元ベクトル空間 という説明がウェブ上で多々ありますが、 これは、ベクトル空間の「成分の数（項数）」であって次元とは関係 ないと理解しました。 ここまでで間違いありますでしょうか？ 間違いがあればご指摘よろしくお願い致します。 *****以下、質問内容***** x,y,z∈Vについて、 (1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 (2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間 (3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間 ですが、 (1)、(2)、(3)はいずれもR^3の部分空間とのことなのですが、この点がよくわかりません・・・ 私のイメージなのですが、 (1)⊂(2)⊂(3)のイメージがあるのですが、これは大きな間違いでしょうか？ 3次元ベクトル空間の部分空間は2次元ベクトル空間と1次元ベクトル空間 と言ったイメージなのですが・・・ R^3の部分空間であるとは、「成分が3つのベクトル空間」の部分空間と言う事で、 次元とは無関係ですよね？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル解析について質問があります。
ベクトル解析について質問があります。 A ＝ A1(x,y,z)*i+A2(x,y,z)*j+A3(x,y,z)*k :i,j,kはｘｙｚ方向の単位ベクトル としていされていて、 １）rotA=0のとき f = ∫[x0→x]A1(α,y0,z0)dα + ∫[y0→y]A2(x,β,z0)dβ + ∫[z0→z]A3(x,y,γ)dγ のｆが grad f = A を示せ ２）A = (6xy + z^3)i + (3x^2 - 2y)j + (3xz^2 - 2y)k としたときgrad φ = A となるφ（x,y,z） を求めよ。φ(0,0,0)=0 とする。 の二つの問題です。（２）のAはrot A がゼロなので（１）を使うのだと思うのですが、x0.y0.z0 の定数をどう扱えばいいのかよくわからなくて・・・全部ゼロとしなくても条件が足りなくて定数を決められませんでした。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトルの積分
問題を解き進めていったときにわからない問題がありましたお願いします。 問１ f=yi+xj+z^2k とし、Ｒをz=[1-x^2-y^2]^(1/2)とz=0で限られた領域とする。このとき、∬∫∇・f dVの値を求めよ。 問２ f=(x^2+y^2-4)i+3xyj+(2xz+z^2)kとし、Ｓを曲面z=4-(x^2+y^2),nを外向きの単位法線ベクトルとするとき、∬∇×f・dsを求めよ。 問１は半径１の球とz=0平面で作られた領域と考え、Gaussの発散定理で∬f・dSと変更し、媒介変数θ、φを用いて解いてみたのですが解くことができませんでした。 問２はxy-平面で見ると半径√(4-z)の円をzが0～4まで変化する領域、重ね合わせた山状？(xz-,yz-平面で見ると4を最大値とした負の二次関数のグラフ)の領域と考え、媒介変数を用いて計算しようとしたのですがこれはできず、次にStokesの定理により∫f・drに変換し、位置ベクトルrを定めようと媒介変数φを用いて計算しようとしたのですが、すると半径√(4-z)とφの2変数を持つ関数になってしまい、けれども積分記号はひとつだし・・・・・・。そのうちこの閉曲線もどこを表しているのかも困惑してきて。。と行き詰ってしまいました。 与えられた領域の描き方があっているか間違っているかの指摘と解き方を教えていただけると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル解析ガウスの発散定理の問題がわからないです
円錐面z^2＝x^2＋y^2と平面z＝1で囲まれる閉曲面をSとする。ベクトル場F＝（xz，xyz^2，yz）のS上の面積分をガウスの発散定理を用いて求めよ。 という問題です、詳しく教えていただければ、と思います。（汗
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトルの積分『∫(A→B)Fｄｒ』の計算の仕方を教えてください。
皆様、こんにちは。 ベクトル積分『∫(A→B)Fｄｒ』の計算の仕方を教えて頂きたいのですが。 A、Bは空間の座標でそれぞれ（Xa、Ya、Za）、(Xb、Yb、Zc)。 F、ｒも３次元のベクトルで、 ｒは空間の位置のベクトルです。 Fの例として Fx(Fのｘ座標)＝Cx/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) Fy(Fのy座標)＝Cy/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) Fz(Fのz座標)＝Cz/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) （Cはただの定数です。） で教えて頂けるとありがたいです。 （この例だと答えが分かっていますので。） 多分この例の答えは ーC/(Xa^2+Ya^2+Za^2)^(1/2)+C/(Xb^2+Yb^2+Zb^2)^(1/2)です。 少し数値が複雑そうですが、物理の保存力の基本問題です。 ベクトルの積分の計算方法をご存知の方やり方を教えて頂けないでしょうか。よろしくお願いします。（２次元の時は何となく分かった気になっていたのですが、３次元になって全く分からなくなってしまいました。）
- 締切済み
- 数学・算数
- 重積分? ベクトル解析? についての質問です。
重積分? ベクトル解析? についての質問です。 xyz空間内の半円柱面 y^2 + z^2 =1 , 0≦z を 2つの平面 x=0 , x=1によって切り取った時に得られる曲面に対し、 ベクトル場 F = yzj + z^2k が外向きに貫く流束を求めよ。 という問題です。 体積V=π/2 と∇・F=z+2z=3z と発散定理 を使うということはなんとなく解るのですが ここからどうしたら良いか解りません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 教えてください！解析の問題です
以下の２問なんですが全く解けませんでした。 z=f(x,y)に対してz_r^2+(1/r zθ)^2をz_x とz_y で表せ。 r(x,y)=x^2+y^2 に対してz(x,y)=f(r)とするとき、yz_x-xz_y を求めよ。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 空間におけるベクトル解析でわからない問題があります
xyz空間の原点Oを中心とし、1辺の長さが2である下図のような立方体ABCD-EFGHにおいて、向きのついた辺ベクトルABを向きのついた辺ベクトルHDに移す回転を表す行列を求めてください。 解答は 0...1...0 0...0...-1 -1...0...0 という問題で (1)なぜ以下の考えでは間違っているのか (2)では解答を導くにはどのように解けばいいのか を途中計算を交えてご説明していただけると助かります。 私が独力で解こうとした際、以下のように考えました。 向きのついた辺ベクトルABである最初の行列は 1...0...0 0...1...0 0...0...1 手順1 xz平面に関する鏡映Mxzによって、ベクトルABをベクトルDCに移す。 手順2 ベクトルDCをy軸を中心として、90°回転させる。するとベクトルHDになる。 Mxzの行列は 1...0...0 0...-1...0 0...0...1 (ｙ座標がマイナスになる。) y軸を中心とする角度θ回転は Ry(θ)(x,y,z)= cosθ...0...sinθ 0...1...0 -sinθ...0...cosθ × x y z なのだから Mxz・My(π/2)= 1...0...0 0...-1...0 0...0...1 × 0...0...1 0...1...0 -1...0...0 = 0...0...1 0...-1...0 -1...0...0.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学Iの展開についての質問です。
(x-y+z)^2の問題を私が展開すると、 =(x-y)^2+2(x-y)z+z^2 =(x^2-2xy+y^2)+(2xz-2yz)+z^2 =x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz になります。 しかし、答えには x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2zx と書いてあります。 次数に数字を入れて計算すれば答えは双方とも一緒になるのですが、なぜ答えと違う順序になるのか知りたいのです。 x^3＞x^2＞xという順序になるのは分かるのですが、ほかの問題も何問か同じように累乗のない項の順序がバラバラになることがありました。 どなたか詳しく教えていただけないでしょうか！！ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 計算方法に不安がありましたが、安心できました。 理解も深まったと思います。感謝いたします。