「AならばB」で、Aが偽でBが真のとき真になる理由

質問

Aが偽でBが真のとき「AならばB（A⇒B）」は真になりますがこれはなぜでしょうか
他の推論から導かれるのか、そのように定義したのか、そのほかの理由なのか

もし「そのように定義したから」という場合、なぜそう定義したのかわかる方はいますか

あるいは逆にAが偽、Bが真のときに「AならばB」を偽とした場合
都合が悪くなる例など示していただけますか

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

真か偽かの2値をとる論理式A, Bを組み合わせてひとつの論理式を作る二項演算は、A, Bの真偽値の組み合わせ((2^2)通り)についてそれぞれ真か偽を対応付ける。なので二項演算は 2^(2^2)=16通りあり、そして16通りだけしかありません。
　具体的に並べてみると、(A,B)の値を((真,真), (真,偽), (偽,真), (偽,偽))と並べたとき、それに対応する答が
(真, 真, 真, 真)になるもの: 定数「真」
(真, 真, 真, 偽)になるもの: 論理和A∨B
(真, 真, 偽, 真)になるもの: B⇒A ※
(真, 真, 偽, 偽)になるもの: A
(真, 偽, 真, 真)になるもの: A⇒B ★
(真, 偽, 真, 偽)になるもの: B
(真, 偽, 偽, 真)になるもの: 同値 A≡B
(真, 偽, 偽, 偽)になるもの: 論理積A∧B
(偽, 真, 真, 真)になるもの: 論理積の否定 A nand B
(偽, 真, 真, 偽)になるもの: 排他的論理和 A⊕B
(偽, 真, 偽, 真)になるもの: Bの否定 ￢B
(偽, 真, 偽, 偽)になるもの: ￢(A⇒B) ※
(偽, 偽, 真, 真)になるもの: Aの否定 ￢A
(偽, 偽, 真, 偽)になるもの: ￢(B⇒A) ※
(偽, 偽, 偽, 真)になるもの: 論理和の否定 A nor B
(偽, 偽, 偽, 偽)になるもの: 定数「偽」
（それぞれに専用の記号があるんですけど、あんまり使われない。）
の16通りです。

　「AならばB」という表現を、「論理式A, Bを組み合わせてひとつの論理式を作る二項演算の一種」と捉えることにすると、（その表現の自然言語としての自然な意味を考慮すれば必然的に）上記の★に該当している、とするしかない。（ほかの演算を指すものだと定義してもいいけど、そうすると、ほかの名称と重複したり憶えにくくなったりするし、そして結局★と※の演算には何か別の呼び名が欲しくなります。）
　ここで「その表現の自然言語としての自然な意味を考慮すれば必然的に」とはどういうことかというと、「君が100万円くれるならば俺の車をやるよ」と言ったときに、「100万円なんて絶対やらんけど、車をくれないとはこの嘘つきめ」って責められたら、そりゃムチャクチャでしょ？ （ま、ムチャクチャが通用するような体系を考えるのも自由ですけど、それは「自然な意味」とは言いがたい。そういう意味を表すなら「ならば」という表現を使うべきじゃないでしょう。）で、Aが偽のときには「AならばB」は偽ではないのだと認めれば、それは★のこと。
　これは『「ならば」が、その自然言語としての習慣的な意味に照らして、★の名称としてにふさわしいかどうか』という、数学的には全くどうでもいい話です。が、自然言語の中で使われる論述を抽象化したものが論理である、ということに鑑みると、論理学的には意味がある話です。

　もちろん、「AならばB」という表現を、二項演算のことだとは考えない、という行き方もある。けれども、それでも★（および※）の二項演算が存在することには違いないですね。
　ところで、その場合に（二項演算ではない）「AならばB」とは、じゃあ何のことか。それは、その論理の体系が持っている推論規則のひとつ「AからBを帰結する」を指していると考えるしかないでしょう。
　「ある論理式から別の論理式を帰結する」という推論規則と、二項演算⇒とを混同する、というのは初学者がよくやる間違いです。もし混同して「Aと(A⇒B)からBを帰結する」という推論を (A∧(A⇒B))⇒B なんて書いてしまうと、これ全体が一つの論理式（常に真になる恒真式）を表しているだけであって、Bは結論にならない。これじゃ論理になりません。この推論規則（(三段論法）を記号で
　　A, (A⇒B) ト B
なんて風に書く（”ト"はホントは横棒が水平なんですけど）流儀があります。また、
　A　　A⇒B
＿＿＿＿＿＿＿
　　B
のように書く流儀もあります。
　論理の体系が持つ公理や推論規則のセットを変えれば、その体系で証明できることが全く変わります。たとえば排他律がない体系もある。背理法やジレンマが使えない体系です。

　ですが、公理や推論規則のセットは論理の体系によっていろいろありうる、ということと、その体系が二値論理であることとは別の話である。そして、二値論理で二項演算を考えれば、最初に述べた通り（推論規則がどうであろうとも）二項演算は16通個あって、そのうちには★や※が含まれざるを得ない。

と、そういう事情です。

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました。

回答No.2

itshowsun

このような質問は他にもたくさんあります。
もしあなたが真剣に疑問に思っているなら、
記号論理学についてウィキペディアで調べるべきです。
簡単に回答できるような質問ではありません。
ヒントとしては
１．ラッセルが P→Qを~P∨Qと定義して、実質含意とした。
　　ウィキペディア「命題論理」「記号論理学」「バートランド・ラッセル」
２．実質含意については、いろいろの問題があり、
　　いろいろな学者が「適切さの論理」を提案した。
　　ウィキペディア「適切さの論理」
３．古典論理では実質含意であるが、直観論理では実質含意を扱わない。
　　ウィキペディア「直観論理」
など。２、３は英語版の方が詳しい。
がんばってください。

お礼

この回答は参考になりませんでした。

補足

No1で簡潔に理由が説明できているのにもかかわらず、簡単に回答できるような質問ではないと述べるのは、あなた自身が理解できていないからなのでしょうね。
回答もせず、聞きかじった知識をひけらかすのは恥ずかしいのでやめたほうがいいと私は思います。

回答No.1

f272

もし
A B A⇒B
1. T T T
2. T F F
3. F T F
4. F F T
と定義したとする。このときB⇒Aは
T
F
F
T
となるはず。そうするとA⇒BとB⇒Aは同値となる。それでいいのか？

お礼

> そうするとA⇒BとB⇒Aは同値となる。それでいいのか？

それは困ります。なんか理解できそうです。
ありがとうございます。