球面上の正方形の面積

質問

単位球上に、大円で切り取られる正方形ＡＢＣＤを考えます。弧ＡＢの長さは、

球の内部の弦ＡＢをａとすると、2arcsin(a/2)であらわせます。

このとき球面上の正方形ＡＢＣＤの面積Ｓをａで表して下さい。

また、単位球面上の四角形ＡＢＣＤの面積は∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ+∠Ｄ－２π

となるようですが、正方形の場合∠Ａ～∠Ｄはどのようになるのでしょうか？

それぞれπ/2だとすると、面積は0になってしまいます。

よろしくお願いします。

回答No.4

CC_T · ベストアンサー

問いとしては
『単位球上に４点ＡＢＣＤがあり、かつＡＢＣＤは同一平面上にあって平面四角形ＡＢＣＤは正方形をなす。
平面四角形ＡＢＣＤの辺の長さをaとするとき、球面四角形ＡＢＣＤの面積をａを使って表せ』
という内容ですよね…。

ＡＢＣＤが単位球に内接する立方体の１面である場合、角Ａは2/3πで、球面四角形ＡＢＣＤの面積は２／３πとなるわけで。

～～～
球面四角形ＡＢＣＤの１辺をP、対角線の弧の長さＡＣ＝BＤ＝２Qとし、ＡＣとＢＤの交点をＥとすると、球面三角形の正弦定理から
　sinE／sinP＝sin(A/2)／sinQ
が成り立ちます。
角Eは等辺球面四角形の対角線が交わる角度ですから、π/2です。
従って上式は
　sin(π/2)／sinP＝sin(A/2)／sinQ
　sinQ／sinP＝sin(A/2)
となり、
　Ａ＝２・arcsin(sinQ／sinP）
　半球を超えないとするなら角Ａの取りうる範囲はπ＞Ａ＞π／２ですね。

球面四角形の面積Ｓは4Ａ-２πですから、
　Ｓ＝８・arcsin(sinQ／sinP）-２π

最後までいってないですけど、P,Qともにａから計算できますから、これで計算できませんかね？
やっつけ仕事で済みません。

お礼

今のところこれがベストだと思いましたので、ベストアンサーと致します他のみなさんもありがとうございました。

補足

私の計算した結果とほぼ同じようです。ありがとうございます。sinQ／sinPはそれほど面倒ではないようです。もう少しすっきりした形なると思うのですが。

回答No.5

mb4808

Ｎｏ．３です。
弦ＡＢを弧ＡＢと勘違いしていました。
従って
cos(斜辺) = cos(2arcsin(a/2)) = 1-2(a^2)/2 = 1-(a^2)/2
なので、すべての「cos a」を「1-(a^2)/2」に書き換えてください。

回答No.3

mb4808

この正方形の球面上の中心を　Ｐ　とすると
△ＡＢＰは球面直角二等辺△で、面積は　Ｓ／４　になります。
球面直角△では　cos(斜辺) = cot(∠PAB)・cot(∠PBA) であり、
二等辺だから　∠PAB＝∠PBA＝ Θ とおけば cos(a)=(cot Θ)^2　…… (1) で
面積は　∠P＋2Θ－π = 2 Θ - π/2、　４倍して　Ｓ＝８Θ－２π。
(1) から　Θ＝ arccot(√(cos a)) = π/2 - arctan(√(cos a))、　
従って、Ｓ＝ ８(π/2 - arctan(√(cos a))) - 2π
　＝　2π - 8・arctan(√(cos a))。
４つの角はそれぞれ２Θになっています。

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

CC_T

球面幾何学において∠Ａとは、球表面の点Ａ，Ｂ，Ｃにおける円弧ＡＢの接線と円弧ＡＣの接線のなす角であり、平面角∠BADとは異なります。平面幾何学とは違い、球面図形は内角の和が一意に定まらないので、「正方形」の内角＝90度とはなりません。
伊能忠敬さんもこれで苦労しました(^^;

例えば、球を赤道と0度と９０度の経線で８分割した状態の球面三角形を見ると、北極から見ると内角はπ/2、分割した罫線と赤道の交点を中心にしてみると、これまた内角はπ/2、つまり内角の和は３π/2になります。球面幾何学においては平面幾何学の常識（三角形の内角の和は180度など）は通用しないのです。

～～～
まず、単位円上の大円２つの交わりで形作られる球面２角形（目のような形。ミカンの一房の表皮側部分のイメージ）の内角をaとすると、その面積Sとの間には2a=Sという関係が成り立ちます。
証明はベクトルやら描くの大変なんで、　「球面幾何学、内角」などをキーワードに検索して、参考リンクのようなサイトをご参照ください。

大円を１つ足した球面３角形の場合、内角をa,b,cとすると面積Sはとの間にS=a+b+c-πが成り立つ。
更にもう一つ足した球面４角形の場合、内角をa,b,c,dとすると面積Sはとの間にS＝a+b+c+d-2πが成り立つ（対角線を入れると、球面三角形2つとして考えることが出来る）。

参考URL：

http://sshmathgeom.private.coocan.jp/geometryonsphere.pdf

お礼

丁寧に指摘していただきありがとうございました。

補足

前段の部分はわたしも理解しています。球内部の正方形の一辺で球面上の正方形の面積を表現できるかどうかが知りたいのです。例えば、単位球の大円上に正方形を作ると、一辺は√２になってこのとき球面上の正方形ＡＢＣＤというのはあきらかに半球ですから２πになります。この正方形を球の内側に縮小して一辺をａにしたときの球面の面積をａで表したいのです。もちろんこのとき球面上では内角の和は２πにはなりません。

回答No.1

fusem23

辺の一つを赤道に例えると、それと直角な線は子午線に当ります。
二本の子午線に直角な線は赤道しかありませんから、面積は０ですね。

お礼

ありがとうございました。