力が加えられた物体の運動

質問

たとえば、摩擦のない水平の面におかれた板への水平の力や、無重力状態の物体に力を加えた時に重心を通る直線上でない限り、併進運動と回転運動が発生すると思うのですが、このときの力が物体の具体的な動きにどうつながるか良くわかっていないことに気が付きました。
話を単純にするために2個の質点を質量のない剛体で繋いだ物を考えます。
この質点を結んだ線に対して斜めに一方の質点に力を掛けた場合に発生する運動をどう考えたら良いんでしょうか？
力を掛けた方にも反力が働くようにも思いますがこれも、反力を100%受け止める場合とまったく受け止めない場合で質点の動きはどのような動きになるのでしょうか

回答No.4

hitokotonusi · ベストアンサー

ANo.2ですが，剛体の運動は相互間距離が変わらない質点系の運動として考えるのが一番理解しやすく，したがって，質点系の運動の法則はすべて剛体の運動で成り立ちます。ただし剛体の場合は一般の質点系と違って質点間距離が変わらないという拘束条件がつきますので，これにより一般の質点系よりはるかに記述が簡単になります。これを踏まえての

＞話を単純にするために2個の質点を質量のない剛体で繋いだ物を考えます。

ではなかったのですか？

質点系の運動方程式は，全運動量をP，質点系に含まれる質点に働くすべての外力の総和をFとすると，

dP/dt = F

全角運動量をL，質点系に含まれる質点に働くすべての外力によるトルクの総和をNとすると，

dL/dt = N

この二つの運動方程式がなりたちます。
再度申し上げますが，これは力学の教科書を確認してください。
おそらくこれが理解できれば疑問は解決することでしょう。

全運動量Pはmiが時間に寄らない定数であることから

P = Σmi vi = Σmi dri/dt = d/dt(Σmi ri)

重心の位置ベクトルRは

R = Σmi ri / Σmi

で定義されるので，M = Σmiと定義すれば

Σmi ri = MR

やはりMは定数なので

dP/dt = d^2/dt^2(Σmi ri) = d^2/dt^2 (MR) = M d^2 R/dt^2

となるので，並進の運動方程式は

dP/dt = M d^2 R/dt^2 = F

という質点の運動方程式と同等になります。

剛体の場合を考えると，剛体は質点間距離が変わらないという拘束条件により，ある回転中心の回りですべての質点が同じ角速度で円運動します。したがって，i番目の質点に関して，角運動量をli, 質量をmi, 速度をvi, 回転中心からの距離をriとすると，角運動量の定義から

li = mi ri vi

が成り立ちます。ところが，前述のとおりすべての質点は同じ角速度ωで回転運動することからvi = ri ωが成り立つので

li = mi ri^2 ω

したがって全角運動量は

L = Σli = (Σmi ri^2) ω

括弧の中が剛体の慣性モーメントなので，

L = I ω

したがってIが時間によって変わらないような回転運動であれば，

dL/dt = I dω/dt = N

質点間相互には力が働いていますが(内力)，これらの運動方程式に含まれるF, Nの中に内力は一切あらわれません。これが味噌です。おそらく，これが腑に落ちずにもやもやしているのでしょう。

お礼

ご丁寧に説明していただきありがとうございます。
落ち着いて考えないと、何がわかっていないのかさえ理解できそうもないので、少し時間をいただいてじっくり考えてみたいと思います。
もやもやの原因も考えていただいてありがとうございます。質点間の相互には力が働かないという点は理解していたつもりでしたが、もう一度ちゃんと理解していたのか落ち着いて考えてみます。
考えるのに時間がかかりそうに思いますので、まずは最初のお礼をさせていただきます。

他の回答をいただいた方にも、参考になる意見をいただき感謝します。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

これは力学のポピュラーな話題なので、教科書を見ることを
お勧めします。結構美しい理論です。

基本的には、剛体加えた力はそのまま重心の運動に、
重心が1個の質点であるかのように作用します。
剛体に加えた力の回転中心に対する力モーメントは
剛体全体の回転中心に対する角運動量を変化させます。

dΣpi/dt = d^2RgΣmi/dt^2 = F
dΣL/dt = N ＝(r-r0) X F

pi: 質点の運動量, Rg: 重心の位置
mi: 質点の重さ
L: 剛体の角運動量、r 作用点の座標、r0: 回転中心の座標

角運動量Lは重心の角運動量Lgと重心が回転中心の内部角運動量L'との
和になります。

力のモーメントNは全ての力が重心に集中したと仮定した場合の
力のモーメント Ng と
重心を回転中心とする力のモーメント N' の和になります。

このとき

dLg/dt = Ng, dL'/dt = N'

が成り立ちます。美しいですよね。

こうした「定理」を身につけて挑むと、剛体がどんな動きを
するかが判りやすくなります。がんばってください。

回答No.2

hitokotonusi

剛体の場合は質点が全て同じ動きをするので，考えるのは個々の質点の運動ではなく質点系全体としての運動になります。この場合に取り扱うのは全運動量と全角運動量で，質点間に働く力(内力)は作用反作用の法則によって打ち消し合って運動に寄与しません。

詳細は力学の教科書を見てください。

補足

なぜ質点間の問題で悩んでいると思われたのかわかりませんが、もう少し質問をはっきりさせるために最初のuen_sapさんの回答の補足を付けました。
図を付け忘れたのですが図の添付のアイコンが見つからず方法ががわかりませんので文で説明します。

距離L離れた２個の質点が質量のない剛体で結ばれていて、一方の質点には質量Mの物体が付けられており、この物体にはばねなどに力Fを生み出すエネルギーが蓄えられているとします。質点間とθの角度でこの物体を力Fで打ち出した時のこの剛体で結ばれた質点の動きを求めたいということになります。
最初に図を添付すればもっと簡単に説明できたようで申し訳ありません。

ここで加わった力がどのように慣性モーメントと慣性によって角加速度と加速度に分配されるのでしょうか？
それともまだ条件が不足するのでしょうか
単純に２個の質点の真ん中にL*sin(θ)/2 オフセットされた位置に力Fが掛かると考えれば良いのでしょうか？
そこから脳内停止状態におちいっています

回答No.1

uen_sap

ほとんど分かっているのではありませんか。
2質点重心の直線運動と、その重心を中心としての回転運動で何か不満ですか。

反力を受け止める受け止めない、何を言っているのか理解できない。
前者は固定点、後者は宇宙空間に漂っている場合のこと？
固定点は明らかとして、宇宙空間の場合は、力を加えたあなたも動く。
運動量保存で解ける。

補足

そうなんです。反力って突然あいまいなものを出してすみません
ひょっとしたらほとんどわかっているかもしれませんが少なくても肝心な点がわかっていないので悩んでいます。

たとえば、宇宙空間で純粋な力のようなもの＝そんな都合の良い話はいけないので、図のようにばねで錘を打ち出したとします。
この場合、具体的な運動はどのように求めたら良いのでしょうか
静止していた時の座標系から見ての動きで、全体の重心に働く加速度と角加速度を知りたいのです。

元々の疑問は飛んでいる飛行機に外乱や舵、エアブレーキなどの力が働いたときにどのような挙動をするか知りたいからで、加わる力と言っても空気のようなふにゃふにゃしたものを介しているので弾性やらむずかしいことを抜きで考えられないかと反力を良い加減な意味で使ってしまいました。