同じものを含む順列の考え方について
- 同じものを含む順列の個数を計算する際、最初に区別があるものとして計算する必要があります。
- 同じ物の個数の階乗で割ることにより、重複する並び方のパターンを除いた個数が求まります。
- 具体的には、同じ物の並び替えのパターンがある場合、それぞれの物の個数の階乗で割ることで重複を排除できます。
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同じものを含む順列の考え方について
例えば A O O という文字の並べ方の個数を計算するとします。 Oに区別があるものとして A O1 O2 この並び方の総数は3! = 6 実際はOに区別は無いので2!で割って 解答は3 ここまではわかります。 しかしその中で疑問があって 1.なぜ一度区別があるものとして計算しないと求められないのか、 それと 2.なぜ同じ物の個数の階乗で割ると解答が求まるのか が完全に理解できません。 2は自分の考えでは A O1 O2 A O2 O1 --------- O1 A O2 O2 A O1 --------- O1 O2 A O2 O1 A という風に1つの並び方のパターンにつき、同じ物の個数がある分だけ並び替えがあるので この場合だとOの2個分の階乗 2! で割ることで 3!からOの並び替え分の個数を抜いている と考えているのですがどうでしょうか よろしくお願いします。
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>なぜ一度区別があるものとして計算しないと求められないのか、 一度の計算で求めることは出来ます。 その場合、式は3Ｃ2になります。 考え方としては、三つの場所から同じものを二つ置くための"場所"を選ぶ、という感じです。 (二つ選んだら、残りがAの場所になる) >なぜ同じ物の個数の階乗で割ると解答が求まるのか が完全に理解できません。 これは質問者さんの考え通りで大丈夫だと思います。 もし○2つが違う物の場合、○の場所だけでなく○の並び順も数えなければなりませんから、 場所 × 並び順ということになりますが、○2つは同じものなので、並び順で割って"場所"のみになる、という感じです。
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- 中村 拓男（@tknakamuri）
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>1.なぜ一度区別があるものとして計算しないと求められないのか、 そんなことはなくて、例えば、Aの位置がきまれば並べ方が決まりますが、 Aを置く場所は3箇所なので 3 というふうにも解けます。 ただ、複雑な場合は区別した方が楽なことが多いし、確率の計算 が絡んでいる場合は「同様な確からしさ」の判断が楽なことが多いという理由も あります。 解法のテクニックであって、数学の本質ではありません。 >2.なぜ同じ物の個数の階乗で割ると解答が求まるのか >が完全に理解できません。 質問に書かれている内容でほぼよいと思います。 区別しない場合の1パターンが区別する場合の何パターンに 対応するかがわかればよいわけです。表を作れば納得できると思います。
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