加速度の積分とは何を表すのか

質問

• 加速度を積分すると、どの速度がわかるのか疑問です。ゴールとスタート地点での速度の差分か、それとも全ての速度を足し合わせたものなのか？途中の経路や加速度が関係しないのかも気になります。
• 時間と加速度の積がどのようなものか想像できません。積分をすることで何を知ることができるのか、具体的なイメージが浮かびません。
• 加速度の積分という概念について疑問があります。加速度を積分することでどのような情報が得られるのか、具体的な例や計算式を知りたいです。

回答No.4

Quarks · ベストアンサー

>ともかく、時間(時刻と時刻の間隔)と加速度の積がどういうものか想像できません

加速度ａ(ｔ)の定義を、もう一度振り返ってみましょう。
時刻ｔ1のときの速度がｖ1，時刻ｔ2のときの速度がｖ2だったとすると
ｔ2－ｔ1の区間での、平均の加速度ａは
　ａ＝(ｖ2－ｖ1)/(ｔ2－ｔ1)
でした。ここで、ｔ2のとりかたを、ｔ1に近くなるように取り直すことを考えてみます。言い換えれば、ｔ2－ｔ1（この時間を、以下Δｔとします）を、ｔ2を変えることで、限りなく０に近い時間とする、いうことです。Δｔ→０
ｖ2も、これに伴って変わってきます。ｖ2－ｖ1をΔｖと書けば
　ａ＝lim[Δｔ→０]Δｖ/Δｔ
となります。この極限値を、時刻ｔ1における、瞬間の加速度ａ(ｔ1)と呼ぶのでした。
これを、改めて
　ａ＝(ｖ2－ｖ1)/(ｔ2－ｔ1)
に代入し直してみると
　ａ(ｔ1)＝(ｖ2－ｖ1)/Δｔ
∴　Δｖ＝ａ(ｔ1)・Δｔ　　　　式（１）
右辺が、「時間と加速度の積」ですから、それは、Δｖ、つまり速度の変化を表していることになります。
もうすこし具体的に言えば
　時刻ｔ1の直後の、ごく短い時間内に起こった速度の変化、"ｖ1になった瞬間から、その直後のΔｔの時間内に、速度がどのくらい変化したか"を表している、と解釈できます。

本題に戻ります。
　∫[ｔ1..ｔ2]ａ(ｔ)・dｔ
　[　]は、積分範囲の意味です。
積分の中身は
　ａ(ｔ)・dｔ
ここで、dｔは、極く短い時間を表していますから、式(1)のΔｔと、同じ意味です。
ということは、
　ａ(ｔ)・dｔ
は、時間dｔ内に起こった、速度の"変化" （どのくらい速度が変化したか）を表していることになります。
積分という操作は、これ（速度の変化量）を、足し合わせていく作業です。具体的にイメージしてみましょう。時刻ｔ1，ｔ1＋Δｔ，ｔ1＋２・Δｔ，ｔ1＋３・Δｔ，…　ｔ2－Δｔ
の各瞬間の速度の"変化量"（各瞬間以降のΔｔの短い時間内での変化量）は、それぞれ
　ａ(ｔ1)・Δｔ，ａ(ｔ1＋Δｔ)・Δｔ，ａ(ｔ1＋２・Δｔ)・Δｔ，ａ(ｔ1＋３・Δｔ)・Δｔ，…
ですから、積分は、これらをすべて、足し合わせたものということになります。
注意深く見てもらえばわかりますように、各区間での加速度は、異なっています。各瞬間瞬間での、加速度を使って、計算しているのです。こうして、積分結果は、ｔ1における速度ｖ1から、ｔ2－ｔ1の時間内に起こった、速度の変化量を、精確に表現していることになります。

簡単に言ってしまえば
>加速度を積分すると何の速度がわかるのですか？
と問われたら、速度がわかるのではなく
>ゴールとスタート地点での速度の"差分"
と答えることになります。
しかし、それは、"ｔ2での速度－ｔ1の速度"という、単純な意味ではありません。
>途中の経路(早くなったり、遅くなったり)は加味されない
のではなく、上記の通り、途中の変化の全てを、きちんと考慮した、極めて精確な差分を与えているのです。
当然、
>スタートとゴールがたまたま同じ加速度だったら０になってしまう気がします
ということについても、そうなることもあれば、０にはならないこともある、ということになります。

（おまけ）
>速度を積分すると移動した距離(スタート地点からの位置)がわかると思うのですが

これは、正しくは、
　速度を積分すると、移動した"変位"がわかる。
と言うべきです。
なお、移動した変位とは、スタート地点から、どの方向に、どれだけの距離だけ、"位置がずれたか"を表す量です。