高校物理 コンデンサーの問題

質問

同じ面積S[m^2]の薄い導体円板A,B,Pを, それぞれの面が平行で, 面の中心が面に垂直な共通の軸上にあるように配置し, Aは直接に接地(アース)し, BはスイッチKを通して接地できるようにしておく. また, 導体円板A,Bは固定してあり, その間隔をd[m]とする. いま, Aの位置を原点OとしてAの面に垂直にX軸を定め, はじめ, PをX=x[m] (0<x<d)の位置に静止させておく.
これらの装置は真空中にあり, 真空の誘電率をεo[F/m]とし, 導体円板A,B,Pはその半径がdに比べて十分大きく, はじめ, 電荷を帯びていないものとする. なお, 接地されている導体の電位を0[V]とする.
(1)
スイッチKを閉じてから, 導体円板Pに電気量Q[C](Q>0)を与えると, AとPの間の電界の強さはBとPの間の電界の強さの (ア) 倍となる. また,Pの電位は (イ) [V]となり, Aが帯びた電気量は (ウ) [C]となる.

問1
AとP及びBとPの間に蓄えられた静電エネルギーの和をU(x) [J]とする. U(x)を, d, x, εo, S, Qを用いて表し, U(x)が最大となるxの値および最大値を求めよ.
スイッチKを閉じたまま, 導体円板PをX=x[m]の位置からX=x+Δx[m]の位置まで軸に沿って微小距離Δx[m]だけ移動させるとき, U(x)[J]の変化をΔU(x)[J]とし, (Δx)^2を含む項を無視すれば(以下必要ならばΔxについて同じ扱いをしてよい), ΔU(x)は, d, x, εo, S, Q, Δxを用いて (エ)と表すことができる. したがって, 静電気力のした仕事が静電エネルギーの減少量に等しいことを用い, Pに作用する静電気力を右向きを正としてf(x)[N]とすると, f(x)は, d, x, εo, S, Qを用いて (オ) と表せる.
(2)
次に, 導体円板Pの電気量をQ[C]に保ったまま, BとPの中心を下図のように絶縁体で作られた軽いバネで結び, Pを軸に沿って自由に移動できるようにしてからX=d/3[m]の位置においたところ, Pはその位置で静止したままであった. このとき, スイッチKは閉じたままであり, バネは自然長よりd/9だけ伸びていた. このバネのバネ定数は (カ) [N/m]である. ただしバネの誘電分極による影響は無視できるものとする.
いま, PをX=d/3[m]の位置からわずかにずらして放すと, PはX=d/3[m]の位置を中心としてX軸の方向に微小な振動をした. Pが微小距離Δx変位して, X=d/3+Δx[m]の位置にあるとき, Pに作用するバネの弾性力と静電気力との合力を右向きを正としてF[N]とするとFは, d, εo, S, Q, Δxを用いて (キ) と表せる. したがって, Pの質量をm[kg]とし, Pの微小振動の周期をT[s]とすれば, Tは, m, εo, d, S, Qを用いて (ク)と表せる. ただしこの過程におけるジュール熱の発生は無視できるものとする.

問2
Pがこの微小振動をしているとき, PがX=d/3[m]の位置を通過する瞬間に, スイッチKを開いた. その後のPの運動の周期T'を求めよ.

(ア)
AとBは接地しているのでAP間とBP間の電位差は等しい. これをVとおくと, AP間の電界の強さは V/x, BP間の電界の強さは V/(d-x)となるから, 答えは (d-x)/x

(イ) (ウ)
PのA側に蓄えられた電気量をqa, PのB側に蓄えられた電気量をqb, Pの電位をVとおくと, 
qa+qb=Q, qa=εoSV/x, qb=εoSV/(d-x)
よって V=(d-x)xQ/εoSd
また, Aに蓄えられた電気量は, -qa=-(d-x)Q/d

問1
U(x)={(d-x)xQ^2}/εoSd
(d-x)x=-(x-d/2)^2+(d^2)/4 より, これが最大となるのはx=d/2のときで, このときU(x)は最大値 (dQ^2)/4εoSをとる.

(エ)
ΔU(x)=U(x+Δx)-U(x)
={(d-x-Δx)(x+Δx)Q^2}/εoSd-{(d-x)xQ^2}/εoSd
={(d-2x)ΔxQ^2}/εoSd

(オ)
f(x)Δx=-ΔU(x)より, f(x)={(2x-d)Q^2}/εoSd

(カ)
バネ定数をkとすると, バネの弾性力は右向きにkd/9, 静電気力は右向きに f(d/3)=-(dQ^2)/3εoSd
力のつり合いより,
-(dQ^2)/3εoSd+kd/9=0
⇔k=(3Q^2)/εoSd

(キ)
F=k(d/9-Δx)+f(d/3+Δx)
=-(2ΔxQ^2)/εoSd

(ク)
(キ)より,Pの運動方程式は
ma=-(2ΔxQ^2)/εoSd
K=(2Q^2)/εoSdとおくと,
ma=-Kxと表せるから, T=2π√(m/K)=(2π/Q)√(mεoSd/2)

答と考え方があっているかチェックをお願いします.
あと, 問2がわからないので教えて下さい.

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

とき方には問題ないと思います。計算も大体あっているとは思いますが追っかける気力がない。

問2について。
極板Bに蓄えられた電荷-qbは変化しません。
すると極板Aに蓄えられた電荷-qaも変化しないということです。
(qa+qb=QとなるためQ,qbが一定であることからqaも一定です)

この条件下ではA-P間,P-B間の電界はPの位置に関係なく常に一定となります。
(平行平面板コンデンサの場合、電界E=q/(εoS)となりますのでqが一定であれば極板間の距離にかかわらず電界は一定になります。)
すると、極板Pが両サイドの電界から受ける力もPの位置に関係なく一定の値をとるということがわかります。

ばね以外から受ける力の大きさが一定、これはばねで吊り下げた物体の運動と同じようなものです。つまり振動の中心位置がずれただけでばね定数が変わらない単振動となります。