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累積分布関数
ランダムベクトル(random vector) (X,Y)の結合密度関数(probability density function)が以下で与えられています。 f(x,y)=c( x^{2} - y^{2} )e^{-x} -x≦y≦x,0<x<∞ =0(その他) X=xで与えられるYの累積分布関数(conditional distribution function)を示してください。
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c は定数かな? 全確率について、1 = ∫[0<x<∞]∫[-x≦y≦x]c(x^2-y^2)(e^-x)dydx = 8c なので、c = 1/8. 「X=x で与えられる Y の累積分布関数」てのが、いまいち意味不だけれど… X については密度、Y については累積分布であるような 関数 F(x,y) を求めたいのなら、単に積分して、 y<-x のとき、F(x,y) = 0. -x≦y≦x のとき、 F(x,y) = ∫[-x≦t≦y]c(x^2-t^2)(e^-x)dt = (1/8){(1/3)(2x-y)(x+y)^2}(e^-x) = (1/24)(2x-y){(x+y)^2}(e^-x). y>x のとき、 F(x,y) = (1/24)(2x-x){(x+x)^2}(e^-x) = (1/6)(x^3)(e^-x). あるいは、条件 X=x の下での Y の条件付き累積分布関数 FY(X=x|y) を求めたいのなら、 y<-x のとき、FY(X=x|y) = 0. -x≦y≦x のとき、 FY(X=x|y) = ∫[-x≦t≦y]c(x^2-t^2)(e^-x)dt / ∫[-x≦t≦x]c(x^2-t^2)(e^-x)dt = ∫[-x≦t≦y](x^2-t^2)dt / ∫[-x≦t≦x](x^2-t^2)dt = {(1/3)(2x-y)(x+y)^2} / {(4/3)x^3}. = {(2x-y)(x+y)^2}/(4x^3). y>x のとき、FY(X=x|y) = 1.
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cは何ですか?
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