数IIの線対称の点の問題で、傾きがわからない。

質問

直線x+2y-3=0をＬとする。この直線Ｌに対して点Ｐ（0,2）と対称な点Ｑの座標を求めよという問題につまづきました。

解説を読むと点Ｑの座標を(p,q）とする。直線ＰＱはＬに垂直であるから、
q+2/p・(-1/2)=-1
とまず書いてありました。

（質問）
q+2/pはどうやって傾きを導きだしてのでしょうか？？
(-1/2)の項は直線Ｌの変形で導き出したとはわかるのですか…。

お願いいたします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足で
誤：点Ｐ（0,2）
正：点Ｐ（0,-2）
と訂正されたので

線分PQの傾きは　
|(Qのy座標)-(Pのy座標)}/{(Qのx座標)-(Pのx座標}
　=(q-(-2))/(p-0)=(q+2)/p
直線Lの傾きは　　-1/2
なので線分PQと直線Lの直交条件は,
傾きの積＝{(q+2)/p}*(-1/2)=-1　⇒ q+2=2p ...(A)
PとQが直線Lに対して対称である条件
　PとQが直線Lに対して対称⇔
　線分PQの中点M(p/2,(q-2)/2) ...(B)が直線L上にある条件から
　∴(p/2)+(q-2)-3=0 ⇒ p+2q=10 ...(C)
(A),(C)をp,qの連立方程式として解けば
　∴(p,q)=(14/5,18/5)
とQ点の座標(p,q)が得られる。

なお、線分Lと直線Lの交点Mの座標は(B)から M(7/5,4/5) となります。
直線PQの式は　y=2x-2 となります。

お礼

２回もの投稿ありがとうございました。お手をおかけしてすみません。
|(Qのy座標)-(Pのy座標)}/{(Qのx座標)-(Pのx座標}
この部分を見て、納得がいきました。
スッキリしました。ありがとうございました。

回答No.2

info22_

解説の
>q+2/p・(-1/2)=-1
はミスプリですね。

正：(q-2)/p・(-1/2)=-1　...(※)

なので(質問)の
>q+2/pはどうやって傾きを導きだしてのでしょうか？？

は該当しません。

上のミスプリの訂正をした「(q-2)/p」であれば、線分PQの傾きということが分かるでしょう。
　線分PQの傾き={(Qのy座標)-(Pのy座標)}/{(Qのx座標)-(Pのx座標)}
　　=(q-2)/(p-0)=(q-2)/q
となります。
2直線（線分）の直交条件は
　(傾きの積)=(線分PQの傾き)x(直線Lの傾き)
　={(q-2)/p}x(-1/2)=-1
つまり(※)が成り立つことです。

補足

ご指摘されたとおり点Pは（0、-2）でした。申し訳ありません！

回答No.1

Willyt

点Q（ｐ、ｑ）と点P（0,2) を結ぶ直線の傾きは　（Y座標の差）／（Ｘ座標の差）＝（ｑ－２）／ｐ　です。また与直線の傾きは-１／２
です。これが直交するのですから　{（ｑ－２）／ｐ｝｛ー１／２｝＝－１です。ミスプリでしょう。或いは点Ｐが（０，－２）なのかも。

補足

ご指摘されたとおり点Pが（0、-2）でした。申し訳ありません！